1. Формула Байєса

Теоре́ма Ба́єса — одна з основних теорем теорії ймовірностей, яка визначає ймовірність настання події, коли відома тільки часткова інформація про подію. Названа на честь Томаса Баєса.

Нехай подія В відбувається одночасно з одним з n несумісних подій A₁, A₂,…,A_i. Потрібно знайти ймовірність події A_i, якщо відомо, що подія B відбулася. На підставі теореми про ймовірність добутку двох подій можна написати

P(A_iB)=P(B)*P(Ai/B)= P(A_i)* P(B/Ai)

Звідки P(A_i/В)=( P(A_i)* P(B/Ai))/ P(В) або

Наслідок

Важливим наслідком формули Баєса є формула повної ймовірності події, що залежить від декількох несуміснних гіпотез (і тільки від них).

 — ймовірність настання події B, що залежить від гіпотез A_i, якщо відомі їх ступені достовірності.

2. Задача математичної статистики

3. Дисперсія та її властивості

Дисперсією випадкової величини   називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія єцентральним моментом другого порядку. ^[1]

Нехай випадкова змінна   може набувати значення   відповідно з ймовірностями   причому  .

• Дисперсія дискретної випадкової величини   має такий вигляд:

,

де

 і називається стандартним відхиленням величини   від її середнього значення  ;

 — це оператор дисперсії випадкової величини.

• Якщо випадкова величина   задана густиною імовірності, тоді дисперсія виглядає так:^[2]

,

де

, тобто це середнє значення величини  ;

 — функція густини імовірності.

Властивості

• Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто  , де  .

• Додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії:  .

• Константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії:  .

• Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, тобто  .

4. Основний принцип перевірки статистичних гіпотез

5. Показниковий розподіл

Показниковий розподіл — абсолютно неперервний розподіл, що моделює час між двома послідовними завершеннями однієї і тієї ж події.

Визначення

Випадкова величина   має експоненційний розподіл з параметром  , якщо її густина має вигляд

.

Часто можна бачити експоненційний розподіл зі зсувом(параметр зсуву  )

.

Інколи сімейство експоненційних розподілів параметризують зворотнім параметром  :

.

Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.

Функція розподілу

Показниковий розподіл функція розподілу ймовірностей

Інтегруючи щільність, отримаємо функцію експоненційного розподілу: 

Моменти

За допомогою нескладного інтегрування знаходимо, що функція моментів для експоненційного розподілу має такий вигляд:

,

звідки отримуємо всі моменти:

.

,

.

• Мінімум незалежних експоненційних випадкових величин також є експоненційною випадковою величиною.

• А якщо розглядати порядкові статистики  , з експоненціальним розподілом генеральної сукупності з параметрами  ,

то випадкові величини   є незалежними.

Квантилі

Квантильна функція (обернена функція розподілу) для експоненційного розподілу,   записується

для 0 ≤ p < 1. Отже, квантилі:

перший (25% процентиль) 

ln(4/3)/λ

медіана 

ln(2)/λ

третій (75% процентиль)

ln(4)/λ

Параметри	- інтенсивність або зворотність коефіцієнт масштабу
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція