15.4. Аналитические функции

Основное содержание общей теории комплексного переменного составляет теория аналитических функций.

Известны различные подходы к понятию аналитичности. Один из них, тесно связанный с геометрическими представлениями, впервые был освещен в работах О. Коши, затем развит в трудах Б. Римана. В его основе лежит так называемое структурное свойство функции – существование производной по комплексному переменному.

Другой подход, связанный с аналитическим аппаратом, которым может быть изображена функция, основан на возможности представления функций степенными рядами. Этот подход был развит в работах К. Вейерштрасса.

Определение. Функция , определенная в области D, называется аналитической (голоморфной) в точке , если существует некоторая окрестность этой точки, в которой функция может быть представлена степенным рядом

.

Функция называется аналитической (голоморфной) в области D, если это свойство выполняется в каждой точке этой области.

Как указывалось ранее, функция , голоморфная в точке , дифференцируема в этой точке.

Голоморфность функции в области означает, что в каждой точке этой области функция бесконечно дифференцируема и ее ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки.

15.5. Ряд Лорана. Особые точки и их классификация.

Определение. Рядом Лорана называется функциональный ряд вида:

(15.19)

где – некоторые комплексные числа (коэффициенты ряда (15.19)); z – переменная, z₀ – фиксированная точки комплексной плоскости.

Рассмотрим отдельно два ряда, из которых состоит ряд Лорана.

Ряд, расположенный по целым неотрицательным степеням

называется правильной частью ряда Лорана.

Ряд, расположенный по целым отрицательным степеням

называется главной частью ряда Лорана.

Ряд (15.19) является сходящимся в точке z, если в этой точке сходятся оба ряда

Областью сходимости ряда (15.19) является общая часть областей сходимости каждого из рядов

Областью сходимости ряда является круг некоторого радиуса R с центром в точке z (в частности, или ). Внутри круга ряд сходится по теореме Абеля.

Если функция f (z) является аналитической в точке z₀, то такую точку называют правильной точкой данной функции.

Всякую точку, которая не является правильной для функции f (z), называют особой точкой.

Определение. Особые точки аналитической функции – это точки, в которых нарушается свойство аналитичности.

Например, для функции точка 7 будет особой точкой, всякая же точка z, такая, что будет правильной.

Определение. Особая точка аналитической функции f (z) называется изолированной, если в некоторой её окрестности функция f (z) не имеет других особых точек.

Определение. Если в разложении функции f (z) в ряд Лорана содержится конечное число членов с отрицательными степенями разности , то особая точка называется полюсом функции f (z) .

Определение. Если в разложении функции f (z) в ряд Лорана нет членов с отрицательными степенями разности , то особая точка называется устранимой особой точкой функции f (z) .

Определение. Если в разложении функции f (z) в ряд Лорана содержится бесконечно много членов с отрицательными степенями разности , то особая точка называется существенно особой точкой функции f (z) .

Правила для определения характера изолированной особой точки аналитической функции f (z):

1) чтобы точка представляла собой устранимую особую точку функции f (z), необходимо и достаточно существование конечного предела

2) чтобы точка представляла собой полюс функции f (z), необходимо и достаточно существование предела

а чтобы точка представляла собой полюс порядка m функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы функцию f (z) можно было записать в виде:

где , а функция аналитическая в окрестности точки ;

3) чтобы точка являлась существенно особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы при функция f (z) не имела пределов (ни конечного, ни бесконечного).