9.4. Закон инерции квадратичных форм

Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма (а). Пусть в L_n задан базис е = (е₁, е₂, … , е_n) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть е¹ = (е₁¹, е₂¹, … , е_n¹) – один из базисов, в котором (а) имеет канонический вид, и Т матрица перехода от базиса е к базису е¹. В базисе е¹ форма (а) имеет диагональную матрицу А¹. По формуле (56) А¹ = Т^ТАТ. Матрицы Т и Т^Т невырожденные. Умножение матрицы А на невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А, следовательно, rang A = rang A¹, т.е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.

Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве L_n называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.

Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение :

Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из r квадратов переменных с единичными коэффициентами, т.е.  = х₁² + х₂² + … + х_r².

Если поле Р есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы будет (а) = х₁² + х₂² + … + х_к² – х_к+1² – … – х_r².

Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции, разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом.

Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Доказательство. Пусть (а) – квадратичная форма, заданная в базисе е = (е₁, е₂, … , е_n) линейного пространства L_n над полем R, а = х₁е₁ + х₂е₂ + … + х_nе_n. Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть

 = у₁² + у₂² + … + у_к² – у_к+1² – … – у_r² =

= z₁² + z₂² + … + z_р² – z_р+1² – … – z_r². ()

Пусть у_і = , і = 1, 2, … , n (), и z_ј = , ј = 1, 2, … , n ().

Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что к = р. Предположим, что к  р. Не нарушая общности, можно считать, что к  р. Составим систему уравнений у₁ = у₂ = … = у_к = z_р+1 = … = z_r = z_r+1 = … = z_n = 0. Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (х₁⁰, х₂⁰, … , х_n ⁰ ) – одно из них. Подставив это решение в формулы () и (), вычислим все у_і и z_ј и подставим их в равенство (). Получим –(у_к+1⁰)² – … – (у_r⁰)² = (z₁⁰)² + (z₂⁰)² + … + (z_р⁰)². Это равенство возможно тогда и только тогда, когда у_к+1⁰ = … = у_r⁰ = z₁⁰ = z₂⁰ = … = z_р⁰ = 0. Получили, что система z₁ = z₂ = … = z_р = z_р+1 = … = z_r = z_r+1 = … = z_n = 0 имеет ненулевое решение (х₁⁰, х₂⁰, … , х_n ⁰ ), что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.