Справочник по векторному анализу.
Векторное поле (функция ,принимающая векторные значения) (P,Q)(P(x,y),Q(x,y)) называется потенциальным, если существует скалярная функция U(x,y): (P,Q)=gradU, т.е.;
При этом U(x,y) называется потенциалом поля (P,Q).
Эквивалентные условия потенциальности поля:
а) Потенциальность
б) Потенциальностьне зависит от траектории (следует из формулы Грина)
При условиях потенциальности
Pdx+Qdy - уравнение в полных дифференциалах Pdx+Qdy=dU => U(x,y) – общий интеграл ДУ, т.е. уравнение U(x,y)=const задает решение y(x).
Теорема: 0(x,y) – интегральный множитель для Pdx+Qdy=0 (1)
0(x,y) – некий общий интеграл для (1), тогда и другой интегрирующий множитель(x,y) задается формулой:(x,y)=0(x,y)g(0(x,y)), где g произвольная функция.
Теорема: 1 В конечномерных пространствах, множество , компактно <=> оно ограничено и замкнуто, а предкомпактность <=> ограниченности.
Следующие 2 теоремы верны в любом полном метрическом пространстве.
Теорема: 2 Хаусдорфа.
Множество предкомпактно <=>>0 существует конечное {x1, x2,…,xn} :, т.е. множество {xn} – это- сеть, это означаетxxk: |x-xk|<
Теорема: 3 Гейне-Бореля
Утв:
dist(A,B)=inf distxA(x,B)
f(x)=dist(x,A) непрерывнамножества А.
dist (A,B)=dist(A,B)
Для конечно мерных пространств: если A,B – замкнуты, и хотя бы 1 из них ограничено, то dist(A,B) достигается на некоторой паре элементов.
Следствие: Если множества А,B замкнуты, не пересекаются и хотя бы 1 ограничено, то dist(A,B)>0
Пусть - открыто, K – компакт, тогда dist(K,>0
Для любого множества dist(,
Теорема: 1 Вейерштрасса. Функция, непрерывная на компакте, ограничена, причем min и max достигаются.
Теорема: 2 Кантора. Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна, т.е. выполняется соотношениеТ.е. существует функция
Теорема: О неявной функции.
Пусть 1) x,yRnxRm, fRmf имеет ту же размерность, что и y.
2) f непрерывно дифференцируема в RnxRm
(x0,y0)
4) det(fy') |(x0,y0)0 (Матрица Якоби квадратная)
тогда
В некоторой окрестности x0функция y=y(x) : f(x,y(x)=0, т.е.функция которая неявно задается таким уравнением
Такая функция единственна
y(x) – непрерывно дифференцируема причем y'x=-(fy')-1fx'
fx' – производная неявной функции
Теорема: 2 об обратной функции
xy’=(yx’)-1если det(yx’)0
Функция f удовлетворяет условию Липшица, если |f(x)-f(y)|<L|x-y|x,y : L - константа Липшица
Теорема: Принцип выбора Кантора
Пусть последовательность функций {fn} равномерно ограничена на,
Пусть - это некоторое счетное подмножество, тогда существует подпоследовательность {fn,k}, сходящаяся в()
Теорема: 2 Арцела – критерий компактности с C(
Пусть - компакт: множество MC()
Тогда множество M – предкомпактно, в C(), тогда и только тогда, когда функции из M равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Замечание: Теорема Хаусдорфа в конечном по х случае, не нужна - сети можно строить деляпополамкоординате.
Теорема: Априорная оценка решений.
Предположим, что 1) y(t) – решение y'=f(t,y) (1a), определим на t[s,s+]
2) f(t,y) непрерывна и ограничена : |f(t,y)|<Mt,y
на пересечении области определения f и окрестности [s,s+]xNz,
|y(t)-z|<t[s,s+]=min{,/M}
гарантируем не слишком большой рост y на некотором замкнутом интервале.
Теорема: Пикара
Пусть 1) =[ s,s+] xNz,
2) f непрерывна и ограничена на : |f(t,y)|f(t,y)|<M(t,y)
f равномерно Липшицева по y на
=min{,/M}, тогда задача (1a) на [s,s+] имеет единственное решение
Замечание:
Равномерно Липшицевость гарантируется, если равномерно ограниченная производная по y
Из теорема Пикара => что через 1 () области проходит ровно одна интегрирующая кривая, если правая часть непрерывно дифференцируем по y
Функция ykназывается последовательным приближением Пикара и их можно использовать для построения приближенного решения.
На всем интервале [s,s+] решение может и не существовать.
Теорема: Пеано.
Предположим 1) =[s,s+] xNz,
2) f непрерывна на и |f|<M
Обозначим =min{,/M}, тогда на [s,s+] существует решение.
Лемма: 1 (о продолжительности сходимости)
Предположим: 1) y(t) – решение ДУ : y'=f(t,y), определенные на [a,b)
2) Существует tkb-0 : y(tk)z
3) |f|<M, в некторой окрестности точки (b,z)
тогда y(t)ztb-0
Теорема: Пусть f(t,y) непрерывна по ограниченной области (открытой)
y(t) некоторое решение ДУ y'=f(t,y) тогда
Это решение может быть продолжено (как решение) на интервал (-,+) : dist((t,y(t)),)0 при t+
Если кроме того |f(t,y)|<M,(t,y), то существует
Опр: Интервал (-,+) из теоремы называется предельным (максимальным) интервалом существования решения.
Замечание: Возможны 2 случая
Решение задачи Коши не единственное, тогда (-,+) определен не однозначно
Решение любой задачи Коши в единственное, тогда
(-,+) определен однозначно
Понятие максимального интервала можно обобщить на неограниченную область, для неограниченных областей можно положить (-,+)=, гдеR=для областиN0,R
Следствие: Если решение любой задачи Коши единственное, то любое решение выходит за пределы любого компакта содержащегося в в том числе неограниченного.
т.е. Пусть K- компакт
Пусть (t0,y0)K, y(t) – решение с начальным значением (t0,y0), тогда существует t1<t0<t2: (t1,y(t1))K и (t2,y(t2))K, т.к. K отделено отнекоторым расстоянием.
Теорема: Полунепрерывность интервала существования)
Предположим 1) f(t,y,p) непрерывна в области (существует)
2) через любую точку области проходит ровно 1 интегральная кривая (существует единственное)
[a,b](-(s0,z0,p0),+(s0,z0,p0)), где (s0,z0,p0)
тогда существует ((s,z,p)N(s0,z0,p0),), можно утверждать, что [a,b](-(s0,z0,p0),+(s0,z0,p0)), т.е. интервал существования не может скачком уменьшиться, хотя может скачком увеличиться.
Теорема: 2
Предположим 1) f непрерывна в области
через любую точку области проходит ровно 1 интегральная кривая
Обозначим ={t,s,z,p : (s,z,p): t(-(s0,z0,p0),+(s0,z0,p0))} (множество на котором определено решение(t,s,z,p) – открытое множество
тогда 1) (t,s,z,p) непрыревно на
2) Графики решений непрерывно зависят от своих параметров, т.е. (>0): ((t,s,z,p)N(t0,s0,t0,p0),) график Г(t,s,z,p), попадет в-окрестность графика Г(t0,s0,z0,p)
Дифференцируемость решения
Теорема: 1
Пусть f и непрерывна в области, тогда решение (1а)(t,s,z,p) непрерывна дифференцируема впо совокупности ограничена.
Замечание: Пусть f(t,y,p) непрерывно дифференцируема по всем аргументам, тогда непрерывно дифференцируема, но только по t.
Теорема: 2 Пусть f(t,y,p) l раз непрерывно дифференцируема по (z,p), тогда
(t,s,z,p) непрерывно дифференцируема l раз по (z,p)
все производные функции по (z,p) до порядка (l-1), включительно непрерывно дифференцируемы по (t,s,z,p)
Линейные ДУ. Общие свойства.
y=A(t)y+f(t) (1а) линейность по y
y|t=s=z (1б)(1)
Замечание. Из теоремы Пикара следует ! решения задачи (1), если функции A, f непрерывны.
Теорема: 1 (Теорема и!)
Обобщенное решение (1) и единственно наинтервале, на котором функции A(t), f(t) суммируемы.
Замечание: Для векторной формы явного решение нет и быть не может (кроме редких случаев).
Теорема: 2 (Оценка решения)
|y(t)|<(|A|- операторная норма матрицы)
Теорема: 3 (предельный переход в задаче Коши)
Рассмотрим задачу Коши (1). Предположим, что znz0, AnA0, fnf0(норма разности0)
Пусть y0– решение задачи Коши для A0, z0, f0, тогда
Линейные однородные ДУ.
ДУ вида y=A(t)y (1)
Следствие: из теоремы единственности.
Если решение y(t) уравнения (1)=0, хотя бы в одной точке, то y(t)=0 (по теореме единственности y(t)=0 – всегда решение (1))
Теорема: 1
Множество решений (1) образует линейное подпространство размерности n (если yСn)
Для набора решений {y1(t), y1(t),…} и дляточек t1,t2: линейная независимость столбцов
{ Yk(t1)}ЛНЗ { Yk(t2)}
Замечание: След матрияы A (TrA или SpA) TrA=a11+ a22+…+ ann=kakk
Теорема: 2 (формула Лиувиля)
det(Y(t))=det(Y(S)) (2)
Опр: Фундаментальной системой решений ДУ (1) называется любой базис в пространстве решений.
Теорема: 3 (свойства разрешающей матрицы)
Пусть U(t,s) – разрешающая матрица, тогда
Решение задачи Коши с начальными значениями задается формулойy(t)=U(t,s)z
U(t,s)=Y(t)Y-1(s) (фундаментальная матрица Y)
Групповое свойство:
U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)
U(t3,t1)=U-1(t1,t3)
Линейные неоднородные уравнения
y'=A(t)y (0)
y'=A(t)y+f(t) (1)
Теорема: 1 (принцип суперпозиции)
Пусть yо.о.(t,c1,c2,…,cn) – общее решение однородного уравнения (0)
уч.н.(t) – частное решение неоднородного уравнения (1), тогда общее решение (1) имеет вид:
y(t,c1,c2,…,cn)=yo.o.(t,c1,c2,…,cn)+yч.н.(t)
Пусть y1(t) – решение (1) для f=f1
y2(t) – решение (1) для f=f2, тогда (y1+y2) – решение (1) для f=f1+f2
Теорема: 2 – метод вариаций произвольной постоянной.
Функция y(t) – решение (1) <=> y(t)=Y0(t)u(t), где Y0(t) -фундаментальная матрица для (0)
u(t) – обобщенное решение уравнения Y0(t)u'=f
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами
y=Ay (0)
y'=Ay+f(t) (1) A – постоянная матрица
Частный случай y – скаляр, y'=ay <=> y(t)=Ceat
Теорема: 1) Ряд для eAtсходится равномерно наограниченном интервале от t.
2) |eAt|<e|A||t|, где ||- операторная норма матрицы
Матрица eA(t-s) является разрешающей для уравнения (0)
Теорема: 2 :Жорданова клетка J. eJt=et=
Экспоненциальная дихотония
Пусть матрица А не имеет чисто мнимых собственных чисел ( в том числе = 0 ) тогда пространство решений распадается на сумму двух подпространств в одном из которых все решения экспоненциально возрастают при t+и экспоненциально убывают при t
А в другом подпространстве наоборот.
Линейные уравнения высших порядков
Утв: Пусть u1, u2, …,un решение (0), тогда
{Uk(t)} – линейно независимы => Wu1,u2(t)0t, (т.к. => {yk(t)} – линейно независимыt)
{Uk(t)} – линейно зависимы => Wu1,u2(t)=0
Формула Лиувилля
Wu1,u2,…,un(t)=W u1,u2,…,un(s)(<= det Y(t)=det Y(s)
В частности Pn-1(t)=0, то Wu1,u2,…,un=const
Теорема:
P() – характеристический многочлен уравнения u(n)+pn-1u(n-1)+…+p0u=0 (0), P()=det(I-A)
Общее решение (0) имеет вид:
u(t,c)=memt
где {Cmi} – произвольная постоянная
km – алгебраическая кратность корня mдля характеристического многочлена.
Замечание: Любые собственные числа матрицы А представлено жордановой клеткой максмально большого размера, т.е. одной, иначе в y(t)=memtне могли появиться слагаемые с максимально возможной степенью, not emttkm-1
Линейные уравнения с периодическими коэффициентами (векторные L-го порядка)
Задача вида y'=A(t)y (1)
Теорема: Своства матрицы Мондроми
V(t+p,s+p)=V(t,s)
Матрица М коммутирует с разрешающей
Пусть Y(t) - фундаментальная матрица, тогда матрица N=Y-1(t)MY(t)
Если Y – фундаментальная матрица, то произведение от t не зависит det M=
Теорема: 2 Пусть J – жорданова клетка, отвечающая собственным числам => матрица
L=удовлетворяет соотношению eL=J
Теорема: 3 Представление Флоке
Пусть Y(t) = любая фундаментальная матрица, тогда
Y(t) – можно представить в виде Y(t)=F(t)eKT, где K – постоянная матрица, а F(t) – p-периодичесткая матрица, т.е. F(t+p)=F(t)
K=1/pY-1(0)lnMY(0), через матрицу Мандроми.
Замечание:
Для частного случая, если Y(t)=U(t,0), то Y(0)=U(0,0)=I=>K=1/plnM=>eKt=et/plnM=M => представление Флоке имеет вид U(t,0)=F(t)Mt/p