10. Найдите действительные собственные числа и собственные векторы матрицы .

Решение. 1) Решаем характеристическое уравнение или

или .

Следовательно, - собственные числа.

2) Находим собственные вектора, решая систему .

. Решаем систему

.

Полагая , получаем собственный вектор соответствующий (другие собственные вектора имеют вид , где С – произвольные действительные числа).

. Решаем систему

.

Полагая , получаем собственный вектор соответствующий (другие собственные вектора имеют вид , где С – произвольные действительные числа).

. Решаем систему

.

Полагая , получаем собственный вектор соответствующий (другие собственные вектора имеют вид , где С – произвольные действительные числа).

11. Вычислите матрицу (арифметические выражения можно не упрощать): .

Решение.

12. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы . Объяснить, почему ее нельзя привести к диагональному виду.

Решение. 1) Решаем характеристическое уравнение или

или или .

Следовательно, - собственные число кратности 2.

2) Находим собственные вектора, решая систему .

. Решаем систему

.

Полагая , получаем собственный вектор соответствующий .

Данную матрицу нельзя привести к диагональному виду, т.к. не существует базиса из собственных линейно независимых векторов (у нас 1 вектор, а надо 2 линейно независимых вектора, чтобы они давали базис в R²).

13. Постройте базис в r3, в котором матрица следующего линейного оператора принимает диагональный вид .

Решение. 1) Решаем характеристическое уравнение или

или .

Следовательно, - собственное число кратности 2, собственное число кратности 1.

2) Находим собственные вектора, решая систему .

. Решаем систему

.

Здесь - базисная переменная, а - небазисные переменные.

Полагая , получаем собственный вектор .

Полагая , получаем собственный вектор .

. Решаем систему

.

Здесь - базисные переменные, а - небазисная переменная.

Полагая , получаем собственный вектор .

3) Следовательно, в базисе , , , состоящем из собственных векторов, матрица А имеет диагональный вид (на диагонали стоят собственные числа):

.

14. Пусть V=R⁴ - евклидово пространство со стандартным скалярным произведением. Линейное подпространство U - линейная оболочка векторов . С помощью процесса ортогонализации найдите ортогональный базис U.

Решение. 1) Проверим, что вектора линейно независимые, для чего находим ранг матрицы А, столбцами которой являются вектора , , .

, то rang(A)=3,

что означает, что вектора , , линейно независимые.

2) Применим процесс ортогонализации (Грама – Шмидта): ,

- скалярные произведения.

Производим вычисления: ,

;

.

Итак: , , - ортогональный базис.

Проверка: , ,

.

15. Пусть V=R⁴ - евклидово пространство со стандартным скалярным произведением. U – подпространство V, задаваемое системой уравнений . Найдите ортогональную проекцию на подпространство U и ортогональную составляющую вектора (4;2;3;5).

Решение. 1) Находим базис U – фундаментальные решения системы. Применим метод Гаусса:

.

Следовательно, - базисные переменные, - небазисные переменные.

При , из системы получаем 1-е фундаментальное решение: .

При , из системы получаем 2-е фундаментальное решение: .

Базис U: , .

2) Построим ортогональный базис U. Применяем процесс ортогонализации Грама – Шмидта.

,

.

Т.о. базис , - ортогональный базис U.

3) (подробно). Пусть ортогональная проекция на U, ортогональная составляющая. Причем из определения этих векторов следует, что (см. рисунок). Т.к. , то существуют , что , т.е. выражается через базис.

Т.к. , то ортогонален любому вектору из , в частности базисным векторам. Тогда, т.к. , то из того, что скалярные произведения равны нулю, получаем:

Производим вычисления и находим : , , , , , т.к. - ортогональные,

, ,

,

.

Теперь система принимает вид:

.

Ортогональная проекция: .

Ортогональная составляющая: .

16. Пусть V=R³ - евклидово пространство со стандартным скалярным произведением. Самосопряженный оператор A задан в стандартном ортонормированном базисе матрицей . Найдите канонический вид оператора и ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов A.

Решение. Самосопряженность оператора А означает, что для любых векторов справедливо равенство , где - скалярное произведение.

Теорема 1. Для того, чтобы преобразование А было самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы в ортогональном нормированном базисе (в частности в стандартном) его матрица была симметричной.

Известно, что для самосопряженного оператора собственные значения вещественны, а собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям - ортогональные. В ортонормированном собственном базисе матрица преобразования А имеет диагональный вид (где по диагонали стоят вещественные собственные значения).

1) Решаем характеристическое уравнение или

или .

Следовательно, - собственное значения.

2) Находим собственные вектора, решая систему .

. Решаем систему

.

Здесь - базисные переменные, а - небазисная переменная.

Полагая , получаем собственный вектор .

. Решаем систему

.

Здесь - базисные переменные, а - небазисная переменная.

Полагая , получаем собственный вектор .

. Решаем систему

.

Здесь - базисные переменные, а - небазисная переменная.

Полагая , получаем собственный вектор .

Вектора , , - ортогональный собственный базис.

3) Построим ортонормированный базис:

,

,

.

4) Канонический вид оператора А в ортонормированном собственном базисе:

,

,

.

Матрица оператора А в базисе имеет вид: .