- •Теорема. Каждый вектор X можно представить единственным образом в виде лин.Комбинации векторов базиса
- •Теорема Множество l векторов пространства V является лин. Подпространством этого пространства выполняются
- •2)Пусть один из коэффициентов перед отличен от 0. Пусть для определенности . Умножая последнее из векторов на числа и вычитая из первых t векторов получим
- •Все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.
- •2)Пусть :
- •2) Если X – собст. Вектор оператора то вектор , где 0, тоже является собст. Вект. Для собств. Зн. ( ]
- •Теорема. В действительном n-мерном пр-ве V всякий лин.Оператор f имеет по крайней мере одно одномерное или двумерное инвариантное пространство
2)Пусть :
Что означает, что матрицей в базисе называется A B
№33
f лин.пр. если линейно зависимая, то лин.зависимой является каждая система (f( при этом сохраняются все линейные соотношения между векторами
Опр.Размерность пространства называется рангом линейного преобразования:
Опр.Совокупность всех векторов пространства V для которых f(V)=0 называется ядром линейного преобразования
Теорема. Ранг лин. преобр. равен рангу матрицы этого преобр. в любом базисе
матрица преобразования в данном базисе
(1), является лин. комбинацией векторов (1), но тогда каждый вектор подпространства f(v) является лин.комбинацией векторов системы ( ) (*)
в силу равенства , rang(*)=rang(A)
Т.о. ранг преобр.f равен рангу матрицы А
№34
Теорема связь между координатами вектора и его образа Пусть f-лин.пр. в некотором фиксированном базисе пусть - произвольный вектор из V =
т.к. = A
№35
Теорема. Чтобы преобразование было взаимно-однозначным необходимо и достаточно, чтобы оно было невырожденным
Невырожденная матрица f Ax=0, имеет только одно решение x=0=> Kern f={0}
Из Kern f={0}=> Ax=0 имеет только одно решение => A-невырожденная
№36
Опр. Оператор В называется обратным оператору А и обозначается А -1, если АВ = ВА = E
Если А обратный для В, то А и В называются взаимообратными
Теорема. Чтобы f имел обратный оператор необх. и дост., чтобы он был взаимно-однознач.
Необ. (ctv) пусть f имеет обратный, но взаимн.-одноз. не является =
Дост. Пусть f взаимно-однозначный
легко видеть что линеен:
, ,
*
Следствия
(1) kernf=0 2)
Оператор обладающий обратным—обратимый
Теорема. Каждый обратимый оператор имеет только один обратный
Ctv пусть существует два: , тогда
№37
Теорема. Пусть f имеет матрицу A в базисе и матрицу B в базисе , а
(*)
т.к.
(**)
=(
Аналогично: ( =
=
=
Откуда получаем B
№38
Опр. Матрица А подобна матрице В если существует такая невырожденная матрица X, что А
Свойства
1)Если B то В= => т.о. отношение подобия симметрично
2) А
Отношение подобия транзитивно
3) каждая матрица подобна самой себе Х=Е. Отношение подобия рефлексивно. Т.о. матрицы одного и того же лин. преобр. всегда подобны
5)
Для каждой обратимой A
AB=BA=>
6) [ ]
7)
№39 Опр. . мат. ), где x— незав. переменная, называют характеристической матрицей. Её определитель f(x)=| |- характеристическим многочленом оператора А.
Сумма диагональных элементов — следом(trA)
| |=0 называют характеристическим уравнением,
Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.
А ;
=
Опр. Корни | |=0 называют характеристическим числами или собственными векторами
Теорема Гамильтона-Кели: Каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена
(В лекциях без док-в., если f-характ. многочлен, то f(А)=0)
№40
Опр. Собственным вектором оператора будем называть такой вектор, для которого выполняется равенство , называется собственным значением, соответ. собственному вектору x оператора и P(C).
Св-ва собств. вект 1) Каждому собств. вектору x соответствует (!) собственное значение .
[ctv: ]