2.Основы теории сигналов

2.1.Общие понятия

Слово “сигнал” происходит от латинского слова “signum”, что переводится как “знак”. Оно означает условные электрические, звуковые, зрительные или иной природы знаки, предназначенные для передачи информации. Сигнал  это материальный носитель информации. В природе он проявляется в виде некоторого физического процесса.

Теория сигналов абстрагируется (отходит) от физической природы сигнала. Здесь оперируют математическими моделями сигналов.

Обычно сигнал, независимо от его физической природы, представляют как некоторую функцию времени x(t). Такое представление есть общепринятая математическая абстракция физического сигнала.

Математическая модель сигнала должна соответствовать физическому сигналу, для описания которого она предназначена. Выбор модели зависит от объема и характера априорной информации о физическом сигнале.

Все модели сигнала делятся на полные и неполные. Примерами полных моделей могут служить: функция времени x(t) è спектральная функция F(j).

Уточняя класс этих функций, можно получить конкретную математическую модель сигнала. Например, класс целых аналитических, т.е. бесконечно дифференцируемых, функций  это конкретная полная модель сигнала.

Полная модель отражает всю необходимую информацию о физическом сигнале. Неполная модель (или оценка) дает не всю информацию о сигнале. Она позволяет описать его с некоторой погрешностью. В результате часть информации теряется.

Примерами неполных моделей могут служить: амплитудный спектр A(), энергетический спектр E(), корреляционная функция R(), набор дискретных значений некоторой функции .

2.2.Классификация сигналов

Сигналы различают (см. рис.2.1):

` 1) по физической природе (электромагнитные и т.д.);

2) по зависимости от времени (постоянные и переменные);

3) по элементу случайности

и т.д.

Детерминированный, или регулярный,  это сигнал, закон изменения которого известен и известны все его параметры.

Квазидетерминированный  это сигнал, закон изменения которого известен, но один или несколько параметров  случайные величины. Пример: x(t)=Asin(t+), где А  случайная величина.

Случайным называют сигнал, значение которого в каждый момент времени есть случайная величина. Кроме этого все сигналы могут быть непрерывными и дискретными.

Рис.2.1

Каждый сигнал характеризуется некоторыми параметрами. Например, функция x(t) имеет два параметра  уровень или значение “x” и время “t”. Для непрерывного или аналогового сигнала оба параметра являются непрерывными величинами, т.е. имеют бесконечное множество значений.

Дискретизированным называют сигнал, у которого хотя бы один параметр является дискретной величиной, т.е. имеет конечное множество значений.

Различают (рис.2.2) четыре формы сигнала x(t).

Рис.2.2

2.3.Геометрические методы описания сигналов

2.3.1.Основные понятия

В технических приложениях сигнал рассматривается как некоторая вещественная или комплексная функция времени x(t). Например, x(t)=  комплексная синусоида. В общем случае может изучаться множество сигналов . При этом решение многих прикладных задач требует сравнения различных сигналов множества M. Для этого нужно уметь оценивать величину сигнала. Тогда можно говорить, что один сигнал превышает другой. Кроме того, часто требуется объективно оценивать , насколько два неодинаковых сигнала “похожи” друг на друга.

Решить задачи сравнения сигналов позволяют геометрические методы в теории сигналов. В их основе лежит представление сигнала как вектора в специально сконструированном бесконечномерном пространстве. Обычно берут линейное пространство. Для него справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия. Условие линейности пространства:

если где  линейный оператор преобразования, то

,

где a и b  любые вещественные или комплексные константы.

Если выполняется условие линейности и математические модели сигналов x_i(t)  вещественные функции, то множество сигналов M образует вещественное линейное пространство. В случае комплексных функций имеем комплексное линейное пространство. Функции x_i(t)  элементы линейного пространства. Их часто называют векторами, так как свойства этих элементов подобны обычным трехмерным векторам.

В линейном пространстве сигналов можно задать специальное подмножество сигналов . Это подмножество играет роль координатных осей по аналогии с обычным трехмерным векторным пространством. Говорят, что совокупность векторов линейно независима, если равенство

возможно только в единственном случае, когда числовые коэффициенты b_i одновременно обращаются в нуль. Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве. Любой сигнал x(t) из множества M можно разложить по координатному базису в виде

,

где числа {a_i}  проекции сигнала (вектора) x(t) относительно выбранного базиса. Другими словами, числа {a_i}  это координаты сигнала в линейном пространстве.

Линейные пространства могут быть разных видов. Тип пространства определяется принятой метрикой. Метрика  это, во-первых, способ определения длины (или нормы) функции, во-вторых, длины (или нормы) расстояния между двумя функциями. Распространены два типа пространства  евклидово R с равномерной метрикой и гильбертово L² с квадратичной (степенной) метрикой. Для них метрика имеет вид:

1) нормы разности (или расстояния) вещественных функций x(t) и y(t)

2) нормы вещественной функции

Линейное пространство с метрикой является нормированным метрическим пространством. В теории сигналов широко применяется метрическое гильбертово пространство L², т.е. пространство с интегрируемым квадратом. В нем норма комплексных функций определяется так:

,

где *  знак комплексно-сопряженной величины.

Квадрат нормы носит название энергии сигнала

.

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением R=1 Ом, если на его зажимах действует напряжение x(t) [В].

В принципе в метрическом пространстве можно учитывать зависимость сигнала не только от времени, но и от параметров, т.е. x(t, a, b, c,...), где a, b, c,...  параметры сигнала.

Различают информативные и неинформативные параметры. Параметр, несущий информацию,  называют информативным. Например, x(t, A, ,) = Asin(t+), здесь информативными могут быть параметры A, и.