Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Правила Кирхгофа регламентируют распределение постоянного тока в разветвленных электрических цепях. Установлены правила немецким физиком Г.Р. Кирхгофом в 1847 г.

Обобщенный закон Ома также позволяет рассчитывать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров довольно сложен. С помощью двух правил Кирхгофа задача решается более просто.

Введем следующее понятие: любая точка разветвленной цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом (рис. 1). Условимся считать ток, входящий в узел положительным, а ток, выходящий из узла – отрицательным.

Рис.1 – Узел разветвленной цепи

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

, (1)

где i – число токов в узле.

Например, для рис. 1 первое правило Кирхгофа, с учетом того, что ток входящий в узел – положительный, а выходящий – отрицательный, запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

В случае квазистационарных процессов соотношение (1) соблюдается с той точностью, с которой можно пренебречь вкладом тока смещения.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвленных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис.2).

Рис. 2 – Электрический контур (стрелками показаны направления токов)

Запомним следующие принципы, которыми будем пользоваться при составлении уравнения: направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен; все токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники э.д.с. считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома можно записать:

,

,

.

Складывая почленно эти уравнения, получим

, (2)

Уравнение (2) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом

контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов I_i, на сопротивления R_i, соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. E_i, встречающихся в этом контуре:

. (3)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо соблюдать следующую последовательность действий:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; (действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному).

2. Найти узел и учитывая знаки (входящие токи – положительные, выходящие – отрицательные) записать первое правило Кирхгофа.

3. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и наоборот. Э.д.с E, действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против - отрицательными. (Если при обходе контура на источнике переходим от минуса к плюсу, то такой источник повышает потенциал в направлении обхода и, следовательно, его э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если переходим от плюса к минусу, то это э.д.с. входит со знаком минус.)

4. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

Рассмотрим применение правил Кирхгофа к схеме измерительного моста Уитстона, позволяющей находить неизвестное сопротивление R₁. Сопротивления R₁, R₂, R₃, R₄ образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батерея с э.д.с. Е и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением R_G. Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

,

, (4)

.

Рис. 3 – Схема измерительного моста Уитстона

Для контуров АСВА, ACDA и СВDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

,

, (5)

.

Если известны все сопротивления и э.д.с, то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R₂, R₃, R₄ можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (I_G = 0). Тогда из (4) найдем

(6)

а из (5) получим

, . (7)

Из (6) и (7) вытекает, что

, или . (8)

В случае равновесного моста (I_G = 0) при определении искомого сопротивления R₁, э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют. Уравнение (8) позволяет определить неизвестное сопротивление.