- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Ду в полных дифференциалах
- •Однородные ду
- •Линейные ду 1−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения 2−ого порядка Первоначальные понятия
- •1. : Функция является решением ду ;
- •Дополнительные сведения
- •Линейные ду 2−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения n−ого порядка Первоначальные понятия
- •П.3 Линейные ду n−ого порядка
- •Системы лнду n−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения 1-ого порядка
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
- •Общая схема решения лнду с постоянными коэффициентами Общее решение лнду имеет вид:
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнения, связывающие независимые переменные, искомую функцию и её производные называется дифференциальными уравнениями.
Если искомая функция есть функция одного переменного , то ДУ называется обыкновенным.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.
|
Способы задания ДУ |
|
явное |
неявное |
|
ДУ 1−ого порядка |
|
|
ДУ 2−ого порядка |
|
|
ДУ n−ого порядка |
|
|
В ДУ n−ого порядка могут и не входить независимая переменная x, искомая функция и отдельные производные искомой функции, которые имеют порядок, меньший, чем n.
Решением ДУ называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в верное тождество.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ – интегральной кривой.
Процесс отыскания решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям: ; ; … называется задачей Коши.
Точки, через которые проходят несколько интегральных кривых или ни одной, называются особыми.
Дифференциальные уравнения 1−ого порядка
Функция называется общим решением ДУ , если:
1. : Функция является решением ДУ;
2. Каково бы не было начальное условие , существует единственное значение такое, что функция удовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением ДУ 1-ого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .
− уравнение в дифференциалах.
Ду в полных дифференциалах
Полный дифференциал функции двух переменных имеет вид:
.
ДУ , где левая часть равенства есть полный дифференциал функции в некоторой области, называется уравнением в полных дифференциалах: .
Тогда решением ДУ является выражение вида
Алгоритм решения:
Функцию можно восстановить из условий :
Тогда . Т. о. решением исходного ДУ есть выражение . |
Однородные ду
Функция называется однородной степени k, если .
ДУ называется однородным, если функции , являются однородными одной и той же степени.
Алгоритм решения:
|
|
Введем замену , тогда |
|
|
. |
При подстановке в исходное уравнение получим ДУ с разделяющимися переменными, которое решим интегрированием относительно функции . Возвращаясь к замене, получим решение исходного ДУ. |
ДУ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ: |
|
Составим систему линейных уравнений: |
|
Если , то система имеет единственное решение . Введем замену
Исходное уравнение сведется к однородному ДУ. |
Если , то Введем замену , и получим ДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными.
|