1. Кинематика

1.1. Координатный и векторный способы задания движения точки

1.1.1. Уравнения движения точки в декартовых координатах. Траектория

При координатном способе задания движения положе­ние точки в пространстве в любой момент времени t опре­деляется декартовыми координатами

х = x(t); y = y(t); z = z(t). (1)

Уравнения (1) называют уравнениями движения точки в координатной форме. При векторном способе задания движения положения точки в любой момент времени определяется ее ра­диус-вектором:

. (2)

Исключив из уравнений (1) па­раметр t, получим уравнения кривой, по которой движется точка в явном виде. Траекторией точки может быть вся полученная кривая или ее часть. Для определения тра­ектории следует установить области изменения координат х, у и z по заданным уравнениям движения, считая время движения t положительной величиной. При известном уравнении кривой, по которой движется точка, траекто­рия во многих случаях может быть выделена заданием области изменения только одной координаты. При иссле­довании траекторий точек механизмов следует учитывать также конструктивные особенности данного механизма, ограничивающие его движение.

Пример 1. Движение точки в плоскости хОу (рис.1) задано уравнениями: х = a sint, y = 2a cos 2t, где а - постоянная (а > 0). Определить траекторию точки и исследовать ее дви­жение.

Решение. Заданные уравнения движения точки являются уравнениями траектории в параметрической форме. Для получения урав­нения траектории в явном виде точка, следует из этих уравнений исключить параметр t.

у = 2а cos 2t = 2a (1 — 2 sin² t).

Из первого уравнения движения точки находим sin t = х/а, тогда

.

Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке (0, 2а), а ветви направлены вниз. Однако не вся полученная пара­бола является траек-торией точки. Действительно, |х| ≤ а,

Рис. 1 |у| ≤ 2а, т. е. траекторией точки является часть параболы, заключенная внутри прямоугольника со сторонами 2a и 4а. Таким образом, уравнением траектории точки является

у = 2а при – а ≤ х ≤ а.

Найдем начальное положение точки. При t = 0

,

т. е. точка в начальный момент находилась в вершине параболы. При возрастании t от 0 до π/2, абсцисса х увеличивается, а ордината у уменьшается, т. е. точка движется по параболе вправо. При t = t₁ = π/2 с

.

В промежутке π/2 ≤ t ≤ 3π/2 с точка движется по параболе влево, проходя ее вершину в момент t = t₂ = π с. Начиная с момента t = t₃ = 3π/2 с, точка снова движется вправо, проходя начальное поло­жение в момент t = t₄ = 2π с, и т.д. Таким образом, точка совершает с течением времени колебательное движение вдоль параболы.

Пример 2. Зубчатое колесо Ι радиусом r (рис. 2) обкатывается внутри неподвижного зубчатого колеса II радиусом R = 2r с помощью кривошипа О₁О₂ угол пово­рота которого φ задан как функция времени: φ = kt (k - постоянная). Определить уравнения движения и траекторию конца А отрезка АВ длиной l, неизменно связанного с ко­лесом I и расположенного вдоль его радиуса. При t = 0 колесо I занима-ло нижнее положение (показанное на ри­сунке пунктиром) и точка В совпадала с центром колеса II.

Р ешение. Рассмотрим положение механизма в некоторый текущий момент времени t. Колесо I займет при этом положение, показанное на рисунке.

Пусть С - точка колеса I, которая в начальный момент t = 0 на­ходилась в С₀ - месте зацепления колес. Из условия отсутствия сколь­жения (благодаря наличию зубцов)

или

Rφ = rγ, где γ = CO₁D.

Имея в виду, что R = 2r, получим γ = 2φ. Обозначим

Рис. 2 через ψ острый угол, состав-ленный диаметром СB с вертикальной осью О₂у. По теореме о внешнем угле треугольника γ = φ + ψ = 2φ, откуда ψ = φ.

Отсюда легко заключить, что точка С в процессе всего движения перемещается вдоль оси О₂у.

Обозначим координаты точки А через х и у. Введем радиус-век­тор . Из рисунка видно, что

.