§2. Правило Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений, в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных. Мы ограничимся случаем, когда это число равно 3:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂ (1)

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃ .

Числа a_ij называются коэффициентами системы, а числа b₁, b₂, b₃ – свободными членами. Коэффициенты системы образуют матрицу A, а свободные члены – столбец B:

A= ; B = .

Обозначим  = detA, а _i – определитель матрицы, которая получается из A заменой i-го столбца на столбец B. Например,

₁= .

Теорема. (Правило Крамера). Если 0, то система линейных уравнений (1) имеет единственное решение. Его можно найти по формулам

x₁ = , x₂ = , x₃ = .

Эта теорема верна и для систем, состоящих произвольного числа n уравнений и неизвестных.

Пример. Найти решение системы уравнений

5x + 9y = 3,

3x + 5y = 1.

Решение.

 = = –2, ₁= = 6, ₂= = – 4.

x₁ = = = –3, x₂ = = = 2.

Ответ: (–3, 2).

Задания для самостоятельного решения.

1 . 6x + 11y = 14,

8x  5y = 1.

2 . 6x + 7y = 9,

9x  5y = 2.

3 . 9x + 12y = 3,

6x + 10y = 3.

4 . 6x  11y = 7,

9x  5y = 1.

5 . 6x  7y = 2,

8x  5y = 7.

6 . 5x + 12y = 1,

7x + 4y = 5.

7 . 8x + 9y = 11,

5x  12y = 1.

8 . 8x + 9y = 7,

4x  12y = 2

9 . 6x + 10y = 14,

9x  7y = 1

1 0. 4x + 11y = 5,

6x + 5y = 4.

1 1. 11x  6y = 14,

5x + 8y = 1.

1 2. 7x  6y = 9,

5x + 9y = 2.

1 3. 12x  9y = 3,

10x  6y = 3.

1 4. 11x + 6y = 7,

5x + 9y = 1.

1 5. 7x + 6y = 2,

5x + 8y = 7.

1 6. 12x  5y = 1,

4x  7y = 5.

1 7. 9x  8y = 11,

12x + 5y = 1.

1 8. 9x  8y = 7,

12x + 4y = 2.

1 9. 10x  6y = 14,

7x + 9y = 1.

2 0. 11x  4y = 5,

5x  6y =  4.

2 1. 9x + 7y = 1

5x  3y = 4.

2 2. 5x  3y = 4,

9x + 7y = 1.

2 3. 11x + 2y = 3

8x  9y = 2

2 4. 9x + 8y = 2,

2x – 11y = 3.

2 5. 11x  2y = 5

8x + 7y = 2.

2 6. 2x  11y = –5

7x + 8y = 2.

2 7. 5x  7y = 4

2x + 6y = 5.

2 8. 7x  5y = – 4

6x + 2y = 5.