2. Способы построения градуировочной характеристики

Номинальную или индивидуальную градуировочную характеристику (в дальнейшем также ГХ) геофизической аппаратуры представляют в виде формулы, графика или таблицы. Но в любом случае в её основе лежит функциональная зависимость, связывающая измеряемый параметр с выходным сигналом аппаратуры на основе экспериментальных данных.

Эти данные попарно представляют собой измеренные значения параметров, воспроизводимые эталоном или измеренные эталонным прибором, и измеренные значения выходного сигнала градуируемой аппаратуры. Каждое из этих измеренных значений содержит неизвестную не исключённую систематическую погрешность, что обусловливает не идеальность процесса преобразования измеряемой величины в выходной сигнал. Это означает, что координаты каждой экспериментальной точки, принятой для построения ГХ, являются случайными величинами. Поэтому принятая для аппаратуры ГХ является частной реализацией совокупности случайных реализаций ГХ, отличающихся от идеальной ГХ этой аппаратуры.

Возможны два варианта расположения принятой ГХ аппаратуры относительно экспериментальных точек:

1) проходит строго через экспериментальные точки;

2) проходит между экспериментальными точками, не совпадая ни с одной из них.

В первом случае количество пар экспериментальных данных равно числу неизвестных параметров (коэффициентов) функции, принятой в качестве ГХ для аппаратуры.

Для второго варианта число пар экспериментальных данных больше числа неизвестных коэффициентов ГХ. Соответственно число уравнений в системе уравнений, равное числу пар экспериментальных данных, больше числа коэффициентов ГХ. В этом случае система уравнений не имеет однозначного решения и решается одним из статистических методов – методом наименьших квадратов (в дальнейшем также МНК).

Рассмотрим методы построения ГХ для двух видов функций, наиболее часто встречающиеся в геофизике - линейной и параболической.

2.1 Способы построения линейной гх вида

2.1.1 Алгебраический способ построения линейной ГХ.

Исходные данные: эталон воспроизводит только два значения измеряемого параметра и ; им соответствуют два измеренных значения выходного сигнала градуируемой аппаратуры и .

На основании таких исходных данных может быть составлена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными a и b в следующем виде:

. (1)

Эта система имеет однозначное решение:

;

. (2)

За оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры с вновь построенной ГХ принимается максимальное из нормированных пределов абсолютной погрешности эталонов (либо , либо ) в том случае, если погрешностью измерений параметров выходного сигнала можно пренебречь, то есть выполняются неравенства:

и .

Если погрешностью измерений параметров выходного сигнала пренебречь нельзя, то за оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры с вновь построенной ГХ принимается максимальное из следующих значений:

или .

Частным случаем первого варианта построения линейной ГХ является случай, когда функция проходит через начало координат. Такое возможно, когда по принципу действия или благодаря схемным решениям аппаратуры при нулевом значении измеряемого параметра ( ) выходной сигнал аппаратуры равен нулю ( ). Эталон, например, полевой калибратор, воспроизводит только одно значение измеряемого параметра Y₂, которому соответствует только одно значение выходного сигнала градуируемой аппаратуры Х₂. В итоге имеем одно линейное уравнение с одним неизвестным b в следующем виде , решение которого очевидно.

За оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры с вновь построенной ГХ принимаются нормированные пределы абсолютной погрешности эталона ( ), если погрешностью измерений параметров выходного сигнала можно пренебречь, то есть выполняется неравенство .

Если погрешностью измерений параметров выходного сигнала пренебречь нельзя, то за оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры с вновь построенной ГХ принимается .

2.1.2 Статистический способ построения линейной ГХ.

Исходные данные: эталон воспроизводит более двух значений измеряемого параметра, например, для n значений , , … и ; им соответствуют n измеренных значений выходного сигнала градуируемой аппаратуры , , … и .

На основании таких исходных данных может быть составлена система n линейных уравнений с двумя неизвестными a и b в следующем виде:

. (3)

…

Эта система решается методом наименьших квадратов. Из неё составляют систему из двух нормальных уравнений с двумя неизвестными a и b. Нормальные уравнения получают по следующему правилу.

Первое нормальное уравнение получим в результате суммирования левой и правой частей системы (3), а второе в результате суммирования частей системы после умножения каждого уравнения на коэффициент при неизвестном b. В итоге получим новую систему

. (4)

Решение данной системы нормальных уравнений найдём путём подстановки a из первого уравнения во второе, вычислим b и найдем а, подставив b в первое уравнение.

(5)

Частным случаем второго варианта построения линейной ГХ является случай, когда функция проходит через начало координат, . поиск коэффициента . В этом случае методом наименьших квадратов сводится к нахождению среднего арифметического значения всех коэффициентов преобразования в каждой точке контроля аппаратуры:

. (6)

Легко убедиться в том, что для среднего арифметического значения сумма квадратов отклонений от него всех остальных чисел случайной величины является минимальной по сравнению с любым другим значением.

Для оценки границ погрешности градуировки средства измерений необходимо найти наибольшее отклонение экспериментальных точек от построенной ГХ с коэффициентами a и b. Для этого в каждой i-й точке контроля необходимо определить измеренное значение Y_изм,i при выходном сигнале Х_i. Затем определить i-е значение систематической погрешности по формуле

. (7)

Из полученной совокупности оценок систематической погрешности выбирается та, которая по модулю имеет максимальное значение - .

За оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры с вновь построенной ГХ принимается алгебраическая сумма модуля максимальной оценки систематической погрешности и модуля набольшего нормированного предела (границы) абсолютной погрешности того эталона ( ), вычисляемая по формуле

, (8)

если погрешностью измерений параметров выходного сигнала можно пренебречь, то есть, когда предел (оценка доверительной границы) относительной погрешности средства измерений выходного сигнала менее 0,3 относительной погрешности эталона для этого эталона.

Если погрешностью измерений параметров выходного сигнала пренебречь нельзя, то за оценку границ абсолютной погрешности аппаратуры принимается максимальное значение, вычисленное во всех точках контроля с вновь построенной ГХ,

. (9)