5.5. Завдання для перевірки знань

Для самостійної перевірки знань потрібно сформулювати розширені відповіді на поставлені питання і перевірити їх повноту та правильність за допомогою матеріалів пропонованих літературних джерел.

1. Розгляньте історію зародження методу Монте-Карло. Скориставшись додатковою літературою, наведіть приклади застосування методу Монте-Карло у різних галузях науки і техніки. Розкажіть про зв’язок методу Монте-Карло із задачами теорії ймовірностей, математичної статистики та обчислювальної математики.

2. Наведіть приклади, коли доцільно в методі Монте-Карло застосовувати безпосередньо емпіричні дані та коли є рація скористатися одним з апроксимуючих теоретичних розподілів. Відмітьте переваги та недоліки використання емпіричних даних. Подумайте, чому іноді дуже важливо застосовувати теоретичні розподіли.

3. Поясніть розв’язання задачі обчислення визначеного інтеграла методом Монте-Карло. Чому при обчисленні багатократних інтегралів точність оцінки інтеграла не залежить від кратності інтеграла? Порівняйте цю властивість з відповідними характерис­тиками інших числових методів обчислення інтегралів.

4. Поясніть методику оцінки точності обчислення значення визначеного інтеграла за допомогою методу Монте-Карло. На даному прикладі розгляньте способи визначення кількості спроб в методі Монте-Карло залежно від заданої точності кінцевого резуль­тату. Що таке правило зупинки?

5. Охарактеризуйте рівномірно розподілену на відрізку [0,1] випадкову величину. У чому полягає унікальна властивість розподілу ймовірностей даної величини і як вона використовується? Що таке РВП [0,1]?

6. Наведіть доказ принципової можливості отримання рівномір­ної випадкової послідовності чисел за допомогою ЕОМ. Чому випадкові числа, отримані за допомогою ЕОМ, називаються квазірівномірними? Від чого залежить кількість випадкових чисел, що отримуються за допомогою ЕОМ. Яку максимальну кількість різних випадкових чисел можна отримати за допомогою ЕОМ?

Тема 6. Генерування рвп [0,1]

6.1. Методичні поради до вивчення теми

Зміст теми. У темі наголошується, що основна проблема в методі Монте-Карло полягає в отриманні рівномірної послідовності чисел РВП [0,1]. Вводиться поняття про генератори (датчики) випадкових чисел. Табличний спосіб одержання РВП [0,1], його переваги та недоліки. Розглядаються фізичні генератори, засновані на явищах радіоактивного випромінювання та «власних» шумів електронних ламп. Розглянуті недоліки та переваги фізичних датчиків. Докладно описані програмні способи одержання РВП [0,1]: метод серединних квадратів; мультиплікативний конгруентний метод; метод Хатчінсона; змішані конгруентні методи; аддитивний конгруентний метод. Показано, що для задач імітаційного моделювання економіко-виробничих систем найпридатнішим є програмний генератор. Вводиться поняття псевдовипадкових чисел та описуються методи перевірки їхньої якості. Загальностатистичні методи перевірки якості РВП [0,1]. Подаються спеціальні методи перевірки РВП [0,1]: перевірка за моментами розподілу; перевірка на рівномірність за допомогою гістограми; перевірка посередніми ознаками; перевірка на періодичність; перевірка на випадковість; перевірка генератора «в роботі».

Пояснення до теми. Основна проблема у методі Монте-Карло полягає в тому, щоб дістати рівномірну випадкову послідовність чисел РВП, розподілених на відрізку [0, 1]. При побудові стохастичних імітаційних моделей ці числа дають змогу генерувати випадкові події або випадкові величини з довільним розподілом. У разі, коли для програмної реалізації використовуються мови моделювання, що забезпечені вмонтованими генераторами випадкових послідовностей чисел, програмістові немає потреби розробляти програми утворення таких чисел. Крім того, бібліотеки більшості ЕОМ включають спеціальні стандартні підпрограми, що їх можна використати з відповід­ною метою.

Проте в організаціях, які ще не мають достатнього досвіду створення імітаційних моделей, програмісти часто стикаються з тим, що потрібні їм стандартні підпрограми або взагалі не включені до бібліотеки стандартних підпрограм, або містять численні помилки. Тому виникає необхідність створювати програми породження РВП [0, 1].

Існують три способи дістати рівномірну випадкову послідовність чисел, розподілених на відрізку [0, 1]: табличний, програмний і фізичне генерування. Фізичний пристрій чи програма на ЕОМ пород­ження РВП [0, 1] називається генератором (датчиком) випадкових чисел.

Табличний спосіб одержання РВП [0, 1] полягає у такому. Існують розроблені з допомогою фізичних або програмних датчиків спеціальні таблиці випадкових цифр. У процесі машинної імітації використовуються здебільшого випадкові числа у загальноприйнятій десятковій системі числення. Тому для створення випадкового числа у вигляді десяткового дробу із заданою кількістю значущих цифр після коми достатньо з будь-якого місця таблиці вибрати підряд потрібну кількість випадкових цифр.

Слід зазначити, що табличний метод у користуванні має як переваги, так і недоліки.

Переваги табличного методу:

1) числа можна діставати з надвисокою швидкістю, якщо таблицю записано в оперативну пам’ять;

2) можна повторювати спроби, що дуже важливо в разі проведення особливо відповідальних експериментів;

3) забезпечується одноразова перевірка якості випадкових чисел.

Недоліки табличного методу:

1) таблиця займає багато місця в оперативній пам’яті;

2) обмежений запас чисел;

3) необхідна зовнішня пам’ять.

Тепер розроблено чимало таблиць випадкових цифр. У таблицях, що належать до ГОСТ 11.003-73 «Прикладна статистика. Рівномірно розподілені випадкові числа», наведено 8192 випадкові десяткові цифри. У світі відомі нині такі таблиці із значно більшою кількістю цифр. Наприклад, фірма РЕНД (США) з допомогою спеціальної електронної апаратури побудувала таблицю, що містить близько міль­йона цифр. Ця таблиця записана на магнітну стрічку, що дає змогу вводити цифри в пам’ять швидкодіючої ЕОМ.

82