- •Лабораторная работа № 5 Разработка имитационных моделей для исследования систем массового обслуживания в экономике, финансах и банковском деле
- •Краткие теоретические сведения
- •Структура, параметры эффективности и качества функционирования смо
- •Классификация смо
- •Показатели эффективности функционирования смо
- •Эффективность и качество функционирования разновидностей смо
- •Задание 3.1.
- •Задание 3.2
Классификация смо
В зависимости от совокупности специфических факторов СМО можно классифицировать следующим образом:
а) по характеру потоков - марковские и немарковские;
б) по числу каналов - одно- и многоканальные;
в) по дисциплине обслуживания - СМО с отказами (нулевым ожиданием или явными потерями), СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью), СМО смешанного типа (ограниченным ожиданием- длиной очереди, временем пребывания в очереди или общим временем пребывания заявки в СМО), причем их обслуживание в СМО может быть как упорядоченным, так и неупорядоченным, а также с обслуживанием по приоритету;
г) по ограничению потока заявок - на замкнутые и открытые (незамкнутые);
д) по количеству этапов обслуживания - на одно- и многофазные СМО.
Показатели эффективности функционирования смо
Эффективность функционирования СМО характеризуют три основные группы показателей:
эффективность использования СМО - абсолютная или относительная пропускные способности, средняя продолжительность периода занятости СМО, коэффициент использования СМО;
качество обслуживания заявок - среднее время (среднее число заявок, закон распределения) ожидания заявки в очереди или пребывание заявки в СМО; вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания; вероятность того, что поступившая заявка немедленно примется к исполнению;
эффективность функционирования пары «СМО - потребитель», причем под потребителем понимается как совокупность заявок или их некоторый источник (например, средний доход, приносимый СМО за единицу времени эксплуатации, и др.).
Эффективность и качество функционирования разновидностей смо
Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок Пвх , интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inПвх = . Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо записывают (t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Тоб распределено по показательному закону и записывается в виде: f(t) = . e-1 , где - интенсивность отказов.
Состояние СМО характеризуется простаиванием или занятостью ее канала, т.е. двумя состояниями: S0 - канал свободен и простаивает, S1 - канал занят. Переход системы из состояния S0 в состояние S1 осуществляется под воздействием входящего потока заявок Пвх , а из состояния S1 в состояние S0 систему переводит поток обслуживания Поб: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого после данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S0 в S1 и обратно равны соответственно и . На рисунке 3.2 приведен граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями.
01 =
S0
S1
10 =
Рисунок 3.2 - Граф состояний
одноканальной СМО
S0 - все n каналов свободны; S1 - занят только один из каналов, остальные (n - 1) каналов свободны; Si - заняты i каналов, (n - i) каналов свободны; Sn - заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рисунке 3.3.
n1 =
01 =
12 =
i,n-1 =
S0
S1
. . .
Sn-1
Sn
10 =
21 =
n-1, n-2
= (n-1)
n, n-1
=
Рисунок 3.3 - Граф состояний многоканальной
СМО
Характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО приведены в таблицах 3.1 и 3.2.
Таблица 3.1
Характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с отказами
Характеристика в момент времени t |
Обозначения, формулы |
1.Вероятность того, что канал свободен |
|
2.Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию |
|
3.Вероятность занятости канала |
|
4.Вероятность отказа заявке |
|
5.Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших) |
|
6.Абсолютная пропускная споссобность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени) |
|
7.Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок |
|
8.Среднее время обслуживания заявок |
|
9.Среднее время пребывания заявки в системе |
|
Таблица 3.2
Предельные характеристики эффективности функционирования одноканальной СМО с отказами
Характеристика в момент времени t |
Обозначения, формулы |
1.Вероятность того, что канал свободен |
|
2.Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию |
|
3.Вероятность занятости канала |
|
4.Вероятность отказа заявке |
|
5.Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших) |
|
6.Абсолютная пропускная споссобность СМО (среднее число обслуживаемых заявок за единицу времени) |
|
7.Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок |
|
8.Среднее время обслуживания заявок |
|
9.Среднее время пребывания заявки в системе |
|
Рассмотрим примеры применения СМО с отказами для оценки эффективности деятельности субъектов рынка на ряде следующих примеров.
Пример 3.1. Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью = 0,8 вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток вызовов клиентов с интенсивностью = 0,9 вызовов/мин. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятности отказа ротк телефонной линии, влияющие на итоговый доход филиала. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.
Решение:
Так как математической моделью телефонной линии является одноканальная СМО с отказами, характеризующаяся параметрами - интенсивностью входящего потока inПвх = = 0,9 и интенсивностью потока обслуживания inПоб = = 0,8, то можно по формуле из таблицы 3.2 определить предельную вероятность отказа так:
ротк = /(+) = 0,9/(0,9+0,8) = 0,9/1,7 = 0,529, или 52,9 %.
Т.е., в установившемся предельном режиме их каждых 100 заявок в среднем 3 получают отказ.
Далее определим предельное значение относительной Q и абсолютной А пропускной способности СМО, используя формулы таблицы 3.2:
Q = 1 - ротк = 1 - 0,529 = 0,471;
А = , Q = 0,9 , 0,471 = 0,424.
Итак, из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных вызовов и случайный характер длительности разговоров порождают ситуацию, что абсолютная пропускная способность А = 0,424 разговора/мин почти в два раза меньше производительности телефонной линии = 0,8 вызовов/мин (0,8 : 0,424 = 1,88).
Определим:
а) среднее время обслуживания (в мин) Тоб:
Тоб = 1/ = 1/0,8 = 1,25 мин;
б) среднее время простоя канала Тпр (в мин):
Тпр = 1/ = 1/0,9 = 1,11 мин;
в) вероятность того, что канал свободен:
р0 = Тпр/(Тоб + Тпр) = 1,11/(1,25 + 1,11) = 0,47,
или р0 = /( + ) = 0,8/(0,9 + 0,8) = 0,47;
г)вероятность того, что канал занят р1:
р1 = 1 - р0 = /( + ) = 0,529, или
р1 = Тоб/(Тоб + Тпр) = 1,25/(1,25 + 1,11) = 0,529.
Таким образом, вероятность того, что канал занят, больше вероятности того, что канал свободен, т.е. р1 р0 , и этого следовало ожидать, так как интенсивность входящего потока = 0,9 больше интенсивности производительности канала = 0,8.
Пример 3.2. Пусть банк принимает решение об открытии своего филиала в городе , рассматривая его как многоканальную СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Производительность каждого канала равна . Обслуживание одной заявки (клиента) приносит средний доход С1. Создание одного канала обслуживания (оператора) требует средних издержек С2, а эксплуатация одного канала в единицу времени - С3. Требуется определить время t, через которое филиал банка (система) начнет приносить прибыль.
Решение:
Пусть случайный процесс, протекающий в СМО, перешел в предельный стационарный режим. Тогда СМО начнет приносить доход лишь в случае, если средний доход от обслуживания заявок одним каналом в единицу времени превысит средние издержки эксплуатации одного канала в единицу времени. Из условия задачи это условие имеет вид: С1 , С3.
Средний доход, приносимый СМО за время t ее эксплуатации в предельном режиме, можно определить как А , С1 , t, где А - абсолютная пропускная способность СМО (среднее число заявок, обслуживаемых за время эксплуатации t. Абсолютная пропускная способность А определяется по формуле:
А = , Кср, (3.1)
где: Кср - среднее число занятых каналов.
Средний доход D(t) за время t составит:
D(t) = С1 , , Кср , t, t 0. (3.2)
Если использовать графическую интерпретацию задачи (рис.3.1), то график D(t) представляет собой прямую (1), проходящую через начало координат под углом , причем tg() = С1 , , Кср.
Iср(t);
Cср(t); Pср(t)
2
Е
1
A(0;C2
. n)
В
3
t0
t1
t
-C2
. n
Рисунок 3.1 - Зависимость между доходом
(1), средними издержками (2) и средней
прибыльностью (3)
Средние издержки за это же время Сср(t), состоящие из издержек (C2n) на создание n каналов и средних издержек (C3 . Кср . t) на их эксплуатацию за время t, соответственно составят:
Сср(t) = С3 , Кср , t + С2 , n . (3.3)
На графике средние издержки Сср(t) от СМО представляют собой прямую (2), проходящую через точки A(0;C2 . n) и В(1;С3 , Кср + С2 , n) под углом , причем tg() = C3 . Kср.
Так как tg() tg() и, следовательно, , то прямые (1) и (2) пересекутся между собой в первом квадранте. Абсциссу t0 точки пересечения В, в которой средний доход равняется средним издержкам, можно определить из равенства: D(t0) = Сср(t0), т.е.:
С1 , , Кср , t0 = С3 , , Кср , t0 + С2 , n . (3.4)
Откуда получаем:
(3.5)
Таким образом, точка В выступает точкой безубыточности, т.е. через время t0 СМО начнет приносить среднюю прибыль Рср, равную:
Рср(t) = Dср(t) - Сср(t) = (С1 , - С3) , Кср , t - С2 , n . (3.6)
Если прямая средней прибыли (прямая 3) пересекается с прямой средних издержек (прямой 2), то абсцисса t1 точки пересечения Е определяется из равенства:
Рср(t1) = Сср(t1) (3.7)
или С1 , , Кср , t1 - С3 , Кср , t1 - С2 , n = С3 , Кср , t1 + С2 , n , (3.8)
откуда:
. (3.9)
Так как t1 0, то из вышеприведенного соотношения имеем:
С1 , - 2 . С3 0, откуда С1 , 2 . С3 .
Сравнив ординаты точек В и Е, получим, что в момент времени t1 средний доход вдвое больше средних издержек.
Если же условие С1 , 2 . С3 не выполняется, т.е. С1 , 2 . С3 , то прямые (2) и (3) в первом квадранте не пересекаются. Если С1 , = 2 . С3, то эти прямые параллельны.