Стационарный случайный процесс

На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие однородно во времени. Они имеют вид непрерывных случайных колебаний вокруг неслучайного значения.

Амплитуда и характер колебаний в среднем не меняются со временем, такие процессы называются стационарными. Например: колебание напряжения, давление газа в газопроводе, колебание самолета вокруг центра тяжести.

У стационарного с.п. X(t) все вероятностные характеристики не должны зависеть от времени.

Рассмотрим одномерную плотность распределения стационарного случайного процесса f(t,x). Так как эта плотность не зависит от того, где взято сечение t, то имеет место равенство f(t₁,x) = f(t₂,x) = … = f(x)

Зная одномерную плотность стационарного с.п. X(t), можно найти его м.о. и дисперсию:

,

.

Таким образом, у стационарного с.п. математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, не зависящими от времени.

Рассмотрим n сечений стационарного с.п. X(t), взятых в моменты времени t₁, t₂, …, t_n; n-мерную плотность распределения можно записать в виде:

f_n( t₁, t₂, … , t_n; x₁, x₂,…,x_n ).

Очевидно, что если с.п. является стационарным, то эта n-мерная плотность распределения не изменится при сдвигу всех аргументов на одинаковую величину τ

f_n( t₁, t₂, … , t_n; x₁, x₂,…,x_n ) = f_n( t₁ + τ, t₂ + τ, … , t_n + τ; x₁, x₂,…,x_n ).

Случайный процесс X(t) называется стационарным в узком смысле, если его n-мерная плотность распределения не изменяется при сдвиге всех его аргументов на одинаковую произвольную величину τ.

Обозначим τ = t₂ – t₁, тогда f₂(t₁, t₂, x₁, x₂) = f₂(τ, x_1, x₂).

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно (m_x = const), а корреляционная функция есть функция сдвига между аргументами: K_x(t₁,t₂) = K_x(τ).

Свойства корреляционной функции стационарного процесса:

1. K_x(τ) = K_x(-τ)

2. K_x(0) = D_x

3. | K_x(τ)| ≤ D_x

Эргодическое свойство стационарного с.П.

Рассмотрим стационарный с.п. X(t)

	t1	t2	…	tn
1	X1(t1)	X1(t2)	…	X1(tn)
2	X2(t1)	X2(t2)	…	X2(tn)
3	X3(t1)	X3(t2)	…	X3(tn)
…	…	…	…	…
n	Xn(t1)	Xn(t2)	…	Xn(tn)

На рисунке стационарный процесс и каждая реализация обладает одними и теми же характеристиками. Если мы выберем одну реализацию, то её характеристики будут мало отличаться от характеристик других реализаций. Одна реализация может заменить все остальные. Для эргодического процесса одна из произвольно выбранных реализаций при достаточно большом времени может дать достаточно хорошее представление о всем процессе.

Стационарные процессы могут обладать или не обладать эргодическим свойством. При рассмотрении Марковских процессов с дискретными состояниями мы вводили понятие эргодического множества состояний. Если процесс протекает однородно и множество состояний конечно и обладает эргодическим свойством, то в нем устанавливается стационарный режим функционирования, характеризующийся тем, что любая реализация этого процесса рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени. Другими словами, эргодическое свойство состоит в том, что любая реализация эргодического стационарного с.п. достаточной продолжительности пройдет через любое состояние данного процесса, независимо от того в каком состоянии процесс находился в начальный момент времени.

Стационарный процесс обладает свойством эргодичности, если его характеристики найденные усреднением множества реализаций совпадают с соответствующими характеристиками, полученными усреднением по времени одной реализации на достаточно большом интервале.

Матожидание:

Достаточным условием эргодичности с.п. X(t) по математическому ожиданию - является условие :

Дисперсия:

Достаточным условием эргодичности с.п. X(t) по дисперсии - является условие : , где K_y(τ) – корреляционная функция с.п. Y(t) = [X(t)]².

Корреляционная функция:

, нахождение корреляции усреднением по времени.

, если выполняется данное условие, то такой с.п. называется эргодичным относительно корреляционной функции.

достаточное условие эргодичности по к.ф.

Обычно стационарный с.п. бывает неэргодическим, когда он протекает неоднородно. В частности неэргодичность с.п. X(t) может быть вызвана тем, что в качестве слагаемого с.п. рассматривается с.в. Например, случайный процесс

Y(t) = X(t) + U

будет неэргодическим.

Характеристики:

m_y(t) = m_x + m_u

K_y(τ) =K_x(τ) + D_u