- •Лекція 1. Математичне моделювання в проектуванні і технології. Класифікація моделей.
- •1.1. Математичне моделювання виробничих об'єктів і процесів.
- •1.2.Структуризація математичних моделей
- •1.3. Структура і елементи моделі
- •1.4. Загальна класифікація сучасних моделей.
- •1.5. Глибина моделювання і вимоги до моделей.
- •2.1. Стаціонарні і нестаціонарні моделі.
- •2.2. Динамічні моделі
- •2.3. Лінійні і нелінійні моделі.
- •2.4. Моделі розподілені і зосереджені в просторі.
- •2.6. Моделі детерміновані і випадкові.
- •2.7. Інформаційні моделі.
- •2.8.Загальна характеристика двохполюсних моделей
- •2.9. Модель ідеального перемішування.
- •2.10. Модель ідеального витіснення.
- •2.11. Дифузійна модель.
- •2.12. Змішувальні, розділові і складні моделі.
- •2.13. З’єднання типових моделей.
- •Лекція 3. Експериментальні методи ідентифікації моделей. Оцінки зовнішніх впливів.
- •3.1.Основні етапи розробки моделей технологічних об'єктів.
- •3.2. Експериментальний підхід.
- •3.3. Ідентифікація статики і динаміки.
- •3.4. Активні і пасивні експерименти.
- •3.5. Параметри випадкових зовнішніх впливів
- •3.6. Помилки вимірювання. Закони розподілу.
- •3.7. Математичне очікування випадкової величини
- •3.8. Дисперсія випадкової величини
- •3.9. Оцінка зв'язаних зовнішніх впливів.
- •3.10. Оцінка тимчасових характеристик зовнішніх впливів.
- •3.11. Методи визначення інтервалу кореляції
- •3.12. Типові кореляційні функції.Спектри.
- •4.1.Особливості запису й обробки вимірювання вхідних впливів.
- •4.2. Статистична перевірка гіпотез.
- •4.3. Характеристики зовнішніх впливів.
- •4.5. Типи залежностей між змінними
- •4.6. Визначення коефіцієнтів кореляції вхідних і вихідних величин.
- •4.7. Лінійна регресія.
- •4.8.Метод найменших квадратів.
- •4.9. Рівняння лінійної регресії.
3.8. Дисперсія випадкової величини
Найважливішою числовою характеристикою випадкової величини є центральний момент другого порядку (другий центральний момент), який називається дисперсією випадкової величини Х, що позначається або .
Для дискретної випадкової величини дисперсія
;
для неперервної випадкової величини
.
Дисперсія характеризує відхилення окремих значень випадкової величини від середнього значення, тобто є характеристикою розсіювання випадкової величини. Чим менше дисперсія, тим тісніше концентруються ідеальні значення випадкової величини поблизу середнього значення.
На практиці при обчисленні оцінки дисперсії буває зручно використовувати зв'язок між початковими і центральними моментами:
.
Оцінка є незміщеною оцінкою дисперсії при будь-якому розподілі випадкової величини X, а при нормальному розподілі дисперсія помилки цієї оцінки
.
Оцінка дисперсії визначається також по ітеративній формулі, причому для одержання незміщеної оцінки перед дужкою в правій частині виразу повинний стояти множник :
де — оцінка математичного очікування.
У ряді випадків дисперсія виявляється незручною для практичного використання, тому що має розмірність квадрата випадкової величини. Тому як характеристику розсіювання випадкової величини часто використовується корінь квадратний з дисперсії, що одержав назву середньоквадратичного відхилення: .
При нормальному законі розподілу 99,7 % усіх вимірювань укладається в діапазон ; 95,4 — у діапазон і 68,5 % — у діапазон .
Для зручності оцінки відносної величини середньоквадратичного відхилення можна використовувати коефіцієнт варіації
,
який іноді виражають у відсотках. Коефіцієнт варіації може змінюватися теоретично від 0 до . Однак практично для багатьох технологічних процесів він не перевищує одиниці. Іноді необхідно характеризувати не коливання ознаки, а його стабільність. Для цих цілей більш зручною є величина (при ). Чим ближче k до одиниці, тим стабільніше значення ознак.
Якщо величина х підлегла нормальному розподілу чи близька до нього, то в якості міри його коливання може бути використано величину , яка характеризує найбільш ймовірне відхилення х від . При великому числі вимірювань половина значень х буде відрізнятися від середнього значення на величину більшу , і половина — на величину, меншу . Таким чином, при нормальному розподілі половина всіх значень х укладається в діапазоні . Величина називається серединним або ймовірним відхиленням. Вона пропорційна середньоквадратичному відхиленню: .
3.9. Оцінка зв'язаних зовнішніх впливів.
Якщо на технологічний процес діє кілька зовнішніх впливів, то при моделюванні необхідно оцінити їхній взаємний зв'язок. Наприклад, вміст компонентів (точніше — їхнього коливання) у вхідному потоці сировини зв'язані між собою практично завжди, тому що сума всіх компонентів дорівнює 100 %. Вміст же кожного компонента є випадковим.
Функціональна і стохастична залежність (зв'язок) різні між собою. Функціональна залежність y = f (х) означає (якщо f —однозначна функція), що кожному значенню (з області визначення функції f) відповідає тільки одне значення . Якщо ж між змінними х і у є стохастична залежність, то зв'язок між їхніми вибірками і їхнім розсіюванням визначається другим змішаним моментом Кху. Значення Кху можна одержати за даними двох вибірок, застосувавши формулу
.
Другий змішаний момент для нормованих випадкових величин називається коефіцієнтом кореляції. Для двох випадкових величин х і у його можна представити у виді
При цьому досягає значення ± 1 лише при точній лінійній залежності між Х і Y.
Для визначення відхилення оцінки коефіцієнта кореляції від його дійсного значення використовують критерій Фішера і таке нелінійне перетворення величини , при якому закон розподілу цієї оцінки практично наближається до нормального. Це перетворення виконується за формулою
.
Середньоквадратичне відхилення випадкової величини залежить тільки від числа дослідів : , а матиматичне очікування дуже близьке до числа, яке отримується після підстановки замість істинного значення коефіцієнта кореляції, якщо по дослідах отримане деяке значення цієї оцінки.
Приклад 31. Розглянемо обєкт з двома вхідними діями і , результати вимірювань яких представлені в таблиці 4.1. Тут кожне значення є результатом усереднення значення координати на інтервалі часу .
Таблиця 4.1.
і |
|
|
|
|
|
1 |
10 |
11 |
-16 |
5,93 |
-94,8 |
2 |
12 |
10 |
-14 |
4,93 |
-69 |
3 |
14 |
8 |
-12 |
2,93 |
-35,1 |
4 |
16 |
8,3 |
-10 |
3,23 |
-32,3 |
5 |
18 |
6 |
-8 |
0,93 |
-7,4 |
6 |
20 |
6,2 |
-6 |
1,13 |
-6,8 |
7 |
22 |
5,3 |
-4 |
,23 |
-0,9 |
8 |
24 |
4,1 |
-2 |
-0,97 |
1,9 |
9 |
26 |
4,5 |
0 |
-0,57 |
0 |
10 |
28 |
3,5 |
2 |
-1,57 |
-3,1 |
11 |
30 |
4 |
4 |
-1,07 |
-4,3 |
12 |
32 |
3 |
6 |
-2,07 |
-5,2 |
Знайдемо середнє арифметичне і відхилення значень і від , , а також їх добутки. Далі визначимо оцінки дисперсій
, .
Коефіцієнт кореляції
,
тобто величина зв’язана з достатньо сильним причинним зв’язком, близьким до функціональної залежності.
Знайдемо довірчий інтервал коефіцієнта кореляції, скориставшись для цього критерієм Фішера. Визначимо величину і середньоквадратичне відхилення:
; .
Задамося імовірністю того, що істинне значення відрізняється від обчисленого на основі оцінки коефіцієнта кореляції не більш чим на . Так як оцінка розподілена нормально з математичним відхиленням , то , користуючись значенням інтегральної функції розподілу , можна знайти l. Нехай
.
Тоді . Таким чином, істинне значення з імовірністю 0,99 лежить в межах , де
.
Цим двом значенням відповідають значення коефіцієнта кореляції , , відповідно, отримане вище значення коефіцієнта кореляції значиме.