13. Расчет средней и предельной ошибки выборки при собственно случайном отборе

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения — оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности. Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида ошибок связаны следующим соотношением:

Δ = tμ

 где Δ- предельная ошибка выборки,

t — коэффициент доверия, определяемый по таблицам в зависимости от уровня вероятности,

μ — средняя ошибка выборки.

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Так, при случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:

при бесповторном:

где σ² - выборочная (или генеральная) дисперсия,

σ - выборочное (или генеральное) среднее квадратическое отклонение,

n - объем выборочной совокупности,

N - объем генеральной совокупности.

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

 где и  — генеральная и выборочная средние соответственно;

 — предельная ошибка выборочной средней.

Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака. В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:

σ²w = w (1-w).

Тогда при собственно-случайном повторном отборе для определения предельной ошибки выборки используется следующая формула:

Соответственно при бесповторном отборе:

Пределы доли признака в генеральной совокупности р выглядят следующим образом:

w - ∆w £ p £ w + ∆w.

Ошибки и пределы генеральных характеристик при других способах формирования выборочной совокупности определяются на основе соответствующих формул, отражающих особенности этих видов выборки. Например, в случаетипической выборки показателем вариации является средняя из внутригрупповых дисперсий - s²i , при серийной выборке — межгрупповая дисперсия δ² и т.д. Кроме того, в последнем случае вместо объема выборочной совокупности n используется показатель серий r.

Следовательно, для типической выборки средняя ошибка вычисляется по формулам:

-          при отборе, пропорциональном объему типических групп:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор);

- при отборе, пропорциональном вариации признака (не пропорциональных объему групп):

(повторный отбор)

(бесповторный отбор),

где Ni и ni — объемы i-й типической группы и выборки из нее соответственно;

σ²i — групповые дисперсии.

При серийной выборке средняя ошибка определяется следующим образом:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор),

где R — число серий в генеральной совокупности,

- межгрупповая дисперсия,

r — число серий в выборочной совокупности.

14. Основные задачи, решаемые с помощью выборочного наблюдения

При применении выборочного наблюдения возникают три основные задачи:

• определение объема выборки, необходимого для получения требуемой точности результатовс заданной вероятностью;

• определение возможного предела ошибки репрезентативности, гарантированного с заданнойвероятностью, и сравнение его с величиной допустимой погрешности.

• определение вероятности того, что Ошибка выборки не превысит допустимой погрешности.

Все эти задачи решаются на основе теоремы Чебышева, согласно которой Р {[ х - ? | < ε } ≥ 1 -h, когда п - достаточно большое число; ε и h — сколь угодно малые положительные числа. Этосоотношение, как было показано в п. 7.3, может быть выражено через формулу предельнойошибки выборки ?x = tsx или ?p = ts. Решение указанных задач зависит от того, какие величиныв формуле предельной ошибки заданы, а какие нужно найти.

Объем выборки рассчитывается на стадии проектирования выборочного обследования. Так как

                                           

то

 ,                                                        (7.20)

где   ? - допустимая погрешность,, которая задается исследователем исходя из требуемойточности результатов проектируемой выборки;

t - табличная величина, соответствующая заданной доверительной вероятности F(t), с которойбудут гарантированы оценки генеральной совокупности по данным выборочного обследования;

?2 — генеральная дисперсия.