Министерство Образования Украины

Сумский государственный университет

Кафедра физической электроники

Отчёт

по курсовой работе

«Расчёт структуры электромагнитных полей»

по курсу «Теория поля»

Вариант 70

Выполнил студент группы ФТ-71

Проверил преподаватель Воробьев Г.С.

Сумы СумГУ 2002

Содержание

Введение 3

1. Расчёт структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей 4

2.Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе. 9

Перечень ссылок 17

Приложение А 18

Приложение Б 21

Приложение В 24

Введение

Задача настоящей работы – теоретическое исследование электромагнитного поля, основывающееся на классических представлениях о нём, и численное нахождение его характеристик .

Отправной точкой в этом служит модель электромагнитного поля, описанная уравнениями Максвелла. Она достаточно широко изучена, в её рамках объяснен ряд процессов и явлений электромагнетизма, для описания которых выработан удобный и мощный математический аппарат.

В рамках этой работы будут рассмотрены случаи электростатического поля и волнового процесса в прямоугольном волноводе. Обе эти модели являются классическими. Вторая, в частности, описывает ряд процессов в электронной передающей технике.

Наша цель – расчёт структуры постоянных полей внутри и вне осесимметричного тела, а также переменных полей в прямоугольном волноводе с заданными характеристиками.

Основной метод исследования – решение уравнений Максвелла, уравнений, описывающих волны в реальных средах с учётом законов, так или иначе характеризующих электромагнитное поле (таких, как материальные уравнения, уравнение Лапласа, волновые уравнения Гельмгольца и др.) методом разделения переменных. Сам метод разделения переменных является крайне удобным во многих задачах, рассматриваемых теорией электромагнит. поля. В нашем случае мы с его помощью находим интересующие нас аналитические выражения. Некоторые величины – находятся на ЭВМ с применением численных методов.

1. Расчёт структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей

Общее задание:

Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле Е₀ , перпендикулярном к его оси . Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения внутри и вне тела для потенциалов _i и _е полей Е_i и Е_е соответственно. Для заданных численных значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии тела

Найти плотность зарядов σ поверхности проводника.

Параметры задачи.

Заряженный проводящий цилиндр в вакууме: R=10 см; Е₀ =150 кВ/м;

_е =1, τ=4е-8. Координаты точки М : r=10 см , =60 .

Решение:

Решение проводится в сферических координатах, связанных с центром шара, r – радиус-вектор точки наблюдения, ось z направлена вдоль приложенного электрического поля (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1

Вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа с соответствующими граничными условиями на поверхности r=R[1].

С учётом азимутальной симметрии задачи поле будет описываться уравнением [1,2]:

(1.1)

Для интегрирования этого уравнения воспользуемся методом разделения переменных [1] и искомую функцию представим в виде

(1.2)

Полное решение приведено в приложении Б и будет иметь вид [1]:

- для внутренней области

(1.3)

- для внешней области

(1.4)

Для определения постоянных интегрирования D и S необходимо учесть не только граничные условия на поверхности шара, но и поведение потенциала на бесконечности. Потенциал ₀ на бесконечности в этом случае имеет вид

(1.5)

Анализируя (1.4) и (1.5), получаем:

(1.6)

Для нахождения постоянной интегрирования S воспользуемся граничными условиями:

(1.7)

. (1.8)

Учитывая (1.3), получаем:

(1.9)

Дифференцируя выражение (1.6) и подставляя его в (1.9), получаем:

(1.10)

Из уравнения (1.10) находим постоянную интегрирования S:

(1.11)

Подставляя (1.11) в (1.6), получаем выражение для потенциала внешней области:

(1.12)

Так как поверхностный заряд , то

(1.13)

Внутри цилиндра поле равно 0. Напряженность поля вне цилиндра:

(1.14)

Рассчитаем плотность поверхностного заряда цилиндра:

Кл/м²

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости (xoz), заданное в сферических координатах:

, (1.15)

где _n = const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения эквипотенциали с индексами n = 1, 2, 3 … Уравнения

эквипотенциальных линий внутри и вне цилиндра следуют из формул (1.3), (1.13), (1.15):

(1.17)

(1.18)

Составляем блок-схему и программу для расчета и построения эквипотенциальных линий. Пример текста программы приведен в приложении А. Результаты построения для n=10 приведены на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – Эквипотенциальные линии