1.2 Поперечно-электрические поля
Чтобы определить типы электромагнитных волн в прямоугольном волноводе и проанализировать структуру электромагнитных полей, необходимо решить уравнение (15) при общих граничных условиях (3). Применительно к поперечно-электрическому полю ( или ) граничные условия имеют вид
при ; ;
при ; . (21)
Используя выражения (17), при условии (21) получаем
при ; ;
при ; . (22)
Напомним, что для (или ) поля .
Решение волнового уравнения (15) осуществляется методом разделения переменных. Будем искать решение в виде
, (23)
где и - функции, зависящие только от и соответственно. Подставляя последние выражения в уравнение (15), получим,
,
откуда следует, что
и ; (24)
,
где и - произвольные постоянные разделения.
Как известно, общее решение уравнений (24), можно представить следующим образом:
,
.
Следовательно, в соответствии с (23) проекция будет равна
, (25)
причем постоянная распространения в соответствии с (12) и (24) определяется как
.
Чтобы найти входящие в выражение для неизвестные величины, воспользуемся граничными условиями (22). Из первого условия вытекает, что
; ; ; .
Из второго условия получается:
; ; ; .
Таким образом,
, (26)
, (27)
. (28)
Здесь введено обозначение .
Подставив значение в равенства (17) и (18), получим выражения для комплексных амплитуд остальных составляющих векторов электромагнитного поля в прямоугольном волноводе для поперечно-электрических волн , , и .
Отметим, что при волны в волноводе существовать не могут, так как в этом случае все компоненты поля, за исключением , обращаются в нуль. Из этого следует, что числа и могут принимать любые значения, равные 0,1,2,3,..., но не могут быть одновременно равными нулю.
Следовательно, в прямоугольном волноводе могут существовать бесчисленное множество типов поперечно-электрических волн, определяемых значениями чисел и . Эти волны обозначаются символами (или ). В общем случае компоненты поля записываются в виде суммы различных типов волн по индексам и .
Вдоль сторон и поперечного сечения волновода распределение поля имеет характер стоячей волны, причем величина определяет число полуволн стоячей волны, укладывающихся вдоль оси на интервале , а - число полуволн стоячей волны вдоль оси на интервале .
Поле будет распространяться вдоль оси в виде бегущей волны, если постоянная распространения равна чисто мнимой величине
, (29)
где - фазовая постоянная (продольное волновое число волновода).
В противном случае поле в волноводе быстро уменьшается с расстоянием вследствие экспоненциального множителя .
Из выражений (27) и (29) следует, что
. (30)
С учетом сказанного продольная составляющая магнитного поля (28) примет вид
. (31)
Из равенства (30) следует, что в прямоугольном волноводе поперечно-электрическая волна ( ) при данных размерах и будет незатухающей, если
.
Отсюда следует неравенство
,
или
.
Величина
(32)
имеет размерность и носит название критической частоты волновода.
Критической частоте соответствует критическая длина волны, которая определяется формулой
, (33)
Таким образом, условие распространения волны по волноводу имеет вид
или . (34)
Фазовая скорость волны определяется по формуле
, (35)
а скорость переноса энергии равна
. (36)
Длина волны в волноводе определяется выражением
. (37)
Из выражения (37) для длины волны в волноводе следует, что она отличается от длины волны в свободном пространстве и от длины волны в среде, заполняющей волновод.
Из выражения для фазовой скорости (35) видно, что волновод является дисперсной средой, так как фазовая скорость, а, следовательно, и скорость переноса энергии, зависит от частоты колебаний источника радиоволн.
При решении задач теории волноводов, кроме понятия волнового сопротивления среды , заполняющей волновод, пользуются понятием характеристического сопротивления волновода . Характеристическое сопротивление в случае волн определяется в виде
. (38)
Из выражения (32) следует, что при одинаковых размерах поперечного сечения волновода критическая частота растет с увеличением и , т.е. высшие типы поперечно-электрических волк (с большими значениями и ) имеют более высокие критические частоты по сравнению с низшими типами. Следовательно, для передачи электромагнитной энергии при заданной частоте источника колебаний по волноводу с наименьшими поперечными размерами необходимо возбуждать в нем волну с наименьшими значениями и . При размере большем это будет волна (или ). Этот тип волны, называемый основным типом волны в прямоугольном волноводе, находит наибольшее применение на практике.
Мощность, передаваемая через поперечное сечение волновода волной по определению равна
, (39)
где - поперечное сечение волновода;
- продольная составляющая вектора Пойнтинга [1,2].
Для прямоугольного волновода эта величина равна , следовательно (приложение А)
, (40)
где и - величины, комплексно-сопряженные составляющим и соответственно.
Следует отметить, что правая часть выражения (39) справедлива лишь для волновода прямоугольного сечения.