- •Глава I. Числовые множества. 1
- •§1. Множества : символика, операции; числовые множества nìzìqìr
- •§2 Множество комплексных чисел(к.Ч.) : определения, аксиомы, комплексная плоскость; rìc.
- •§3. Алгебраическая форма к.Ч.; арифметические операции с к.Ч.
- •§4. Тригонометрическая и показательная формы к. Ч. ; аргумент к. Числа.
§4. Тригонометрическая и показательная формы к. Ч. ; аргумент к. Числа.
Известно, что между точкой комплексной плоскости и соответствующим к. числом существует взаимно-однозначное соответствие M(x,y)z=(x,y)C.
Введем на комплексной плоскости одновременно две системы координат –прямоугольную (оси абсцисс X=Rez и ординат Y=Jmz) и полярную (полюс О и полярная ось ОХ).
Точка на плоскости определяется
либо ее прямоугольными координатами - абсциссой и ординатой- M(x,y),
либо ееполярными координатами – длиной радиус-вектора точки и полярным углом φ -M(r,φ), причем
Так как полярный угол точки определен не однозначно 0+2к; kZ; |0|<2, для взаимно-однозначного соответствия точки и ее полярных координат в качестве полярного угла будем принимать 0: |0|<2.
В дополнение к обозначениям x=Rez; y=Imz; ,введем для комплексного числа Z=C еще два
определения:
Argz==0+2к;kZ– аргумент к.ч.;
argz=0; |argz|<2 -главное значение аргумента к.ч.
Между Rez, Imz, |z| и argz=0 существуют следующие соотношения:
"»Воспоминания»: tg(-0)=- tg(0)
0,рад |
/2 |
/3 |
/4 |
/6 |
0 |
tg(0) |
+ |
3 |
1 |
1/3 |
0 |
Например,z=1+j0= arg(1+j)=π/4; =Arg(1+j)= π/4+2kπ; kZ.
Д/З: найти значения argz для множеств положительных и отрицательных вещественных чисел.
Из алгебраической формы к.ч и соотношений 2) следует тригонометрическая форма к. числа: zC/{0}: z=(x,y)=|z|(cos(0)+jsin(0))
Кроме того, в третьем семестре будет доказана формула Эйлера
Из формулы Эйлера и тригонометрической формы следует показательная форма к. числа: Например,
----------------------------------------------------------------------------
Замечания.
1)Условия равенства к. чисел :
(а)в алгебраической форме -
(б)в показательной и тригонометрической формах
2) Алгебраичесая форма предпочтительна при сложении и вычитании к. чисел;
показательная и тригонометрическая формы «удобны» в операциях умножения, деления и возведения к.чисел в натуральную степень, при этом:
(а) модули, соответственно, перемножаются, делятся или возводятся в степень - ;
(б) аргументы, соответственно, складываются, вычитаются или умножаются на показатель степени -
3) Так как е2kj=1, в записи конечного результата операций в показательной (тригонометрической) форме используется главное значение аргумента 0; |0|<2: z=|z|exp[0+2k)j]=|z|exp(0j)=|z|(cos(0)+jsin(0)).
Экз. задача. “Найти Rez, Imz, |z|, argz и записать три формы к. числа.
§5.Решение двучленных zn=a и квадратных z2+bz+c=0 уравнений в С; основная теорема алгебры.
Пусть задано в показательной форме к. число a=|a|ejφa. Решение уравнения zn=a; будем искать так же в в показательной форме:
Первое уравнение имеет единственное решение -арифметическое значение корня степени «n» из неотрицательного числа: 1) !
Второе же уравнение системы имеет множество решений:
Однако, с учетом того, что e2kj=1, различным комплексным числам соответствуют лишь “n” значений аргумента: так как, например,
Таким образом,
.
Следовательно, во множестве к. чисел двучленное уранениеzn=a; имеет ровно «n» различных решений. Эти решения имеют одинаковые модули, а их аргументы отличаются на величину, кратную величине . На комплексной плоскости решения уравнениярасполагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса r=.
Например, - решения двучленного квадратного уравнения -противоположные к. числа,
Основная теорема алгебры. «Полином степени «n”
имеет ровно «n” корней , считая совпадающие («кратные») корни, и единственным образом представляется в виде произведения
».
Например, 1)
2) z2+1=(z-j)(z+j).
Рассмотрим квадратное уравнение az2+bz+c=0; a#0. Выделим по первым двум слагаемым «полный квадрат» и приведем уравнение к двучленному квадратному.
Обозначим к. число и запишем решения уравнения (*) в виде
Замечание. Для квадратного уравнения с вещественными коэффициентами имеют место следующие формулы:
1) Если D>0 ( φF=0), получим известную формулу корней квадратного уравнения с положительным дискриминантом
Если D<0 (φF=π), - комплексно-сопряженные числа !!!;
например,
--------------------------------------------------------------------
Экз. задача. 1) Найти и изобразить на к. плоскости все корни уравнения z3+1=0.
(z1=-1; z2,3=0.5(1). 2) Решить уравнение z2+2z+5=0 и доказать, что полученные числа - корни уравнения.
Экз.+1. «Решив биквадратное уравнение z4+z2+1=0, (а)записать три формы всех его решений; (б)изобразить решения на ; (в) записать разложение на множители полинома P4(z)= z4+z2+1. (z{(1j3)/2}={exp(j/3)}={[cos(/3)+jsin(/3)]}