Определение параметров движения твердых тел на основе законов сохранения

1. Цель работы: а) определение основных кинематических и динамических характеристик и проверка законов вращательного движения; б) определение момента инерции тела с применением законов сохранения момента импульса и механической энергии.

2. Подготовка к работе: прочитать в [2] §§ 4.2, 4.3, 5.2, 5.3, [1] §§ 16–19. Для выполнения лабораторной работы студент должен знать: а) основные кинематические и динамические характеристики вращательного движения; б) законы сохранения момента импульса и механической энергии; в) основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела; г) уметь пользоваться измерительными приборами.

3. Выполнение работы

3.1. Описание экспериментальной установки

Стержень, момент инерции которого надо определить, укреплен на неподвижной горизонтальной оси, проходящей через центр масс стержня. Стальной шарик удерживается электромагнитом над одним из концов стержня на высоте h. При выключении электромагнита шарик, свободно падая с высоты h, приобретает скорость и упруго ударяется о горизонтально расположенный стержень в точке, отстоящей от оси вращения на расстоянии r (рис. 2). Место удара определяют по небольшой вмятине в тонком слое пластилина, предварительно нанесенном на стержень. Число оборотов N, которое сделает стержень до полной остановки, определяют по насаженному на ось картонному кругу, разделенному на 10 частей.

3.2. Методика измерений и расчета

М омент инерции тела, масса которого распределена по объему непрерывно, вычисляют путем интегрирования:

,

где dV – бесконечно малый объём массой dm (рис. 1, а); r – расстояние от объёма dV до оси вращения;  – плотность вещества в том месте, где взят объём.

В случае однородного прямоугольного стержня для оси, проходящей через центр масс стержня перпендикулярно двум боковым граням, интегрирование даёт следующее выражение:

, (1)

где – масса стержня; – длина стержня; – ширина стержня (рис. 1, б).

В данной работе для экспериментального определения момента инерции стержня используется взаимодействие горизонтально расположенного стержня с падающим с высоты h металлическим шариком массой m (рис. 2). Перед ударом скорость шарика равна

. (2)

После удара, который рассматривается как абсолютно упругий, шарик отскакивает от стержня вертикально вверх со скоростью , а стержень начинает вращаться с начальной угловой скоростью .

Согласно основному закону динамики вращательного движения изменение момента импульса системы «шарик – стержень» равно

. (3)

Полагая, что система тел «шарик – стержень» квазизамкнута, для неё выполняется закон сохранения момента импульса

. (4)

или в проекции на ось OZ (см. рис. 2):

. (5)

Так как удар шарика о стержень – упругий, то выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому

, (6)

где – кинетическая энергия шарика перед ударом; – кинетическая энергия вращающегося стержня после удара; – кинетическая энергия шарика после удара.

Решая совместно уравнения (5) и (6), получим выражение для момента инерции стержня:

. (7)

Начальную угловую скорость вращения стержня можно определить, измеряя число оборотов N, которое он сделает за время t от начала вращения до полной остановки.

Угол поворота стержня . Для равнозамедленного вращательного движения , конечная скорость которого равна нулю. Поэтому . Отсюда

. (8)

Вращение стержня после удара происходит в условиях действия на него единственного момента сил – момента сил трения в оси . С учетом этого основное уравнение динамики вращательного движения запишется в виде

, (9)

где – угловое ускорение стержня, равное .

Тогда момент сил трения в оси равен

. (10)

Зная момент сил трения, можно определить работу этих сил

. (11)

3.3. Определение кинематических характеристик шарика и стержня

3.3.1. Установите стержень строго горизонтально. Измерьте расстояние от магнита до точки удара шарика о стержень. Расстояние от оси вращения до точки соударения со стержнем измерьте с помощью линейки. Предварительно нанесите на стержень тонкий слой пластилина для определения места удара.

3.3.2. По формуле (2) рассчитайте скорость шарика перед ударом о стержень.

3.3.3. Измерьте время вращения и число оборотов стержня после удара. Опыт повторите не менее 5 раз.

3.3.4. Найдите средние значения времени и числа оборотов и по формуле (8) рассчитайте начальную угловую скорость , а по формуле (9) угловое ускорение . Результаты измерений и расчетов занесите в табл. 1.

Таблица 1

Результаты измерения времени и числа оборотов стержня

и расчета кинематических величин шарика и стержня

№ п/п	t				r
	с	с	об	об	м	м/с	с–1	с–2
1
2
3
4
5

3.4. Определение динамических характеристик движения шарика и стержня

3.4.1. По формуле (7) рассчитайте экспериментальное значение момента инерции J_э стержня относительно неподвижной оси.

Значение массы шарика m приведено в паспорте установки.

3.4.2. Теоретическое значение момента инерции стержня J_т рассчитайте по формуле (1). Значение массы стержня m_ст приведено в паспорте установки. Линейные размеры стержня ℓ₁ и ℓ₂ измерьте с помощью линейки или штангенциркуля.

3.4.3. Сравните экспериментальное J_э и теоретическое J_т значения момента инерции стержня и рассчитайте относительное расхождение между ними в процентах:

.

3.4.4. Момент импульса шарика L_ш перед ударом относительно центра вращения рассчитайте по формуле , а момент импульса стержня L_ст относительно неподвижной оси сразу после удара – по формуле .

3.4.5. Определите кинетическую энергию шарика перед ударом и начальную кинетическую энергию стержня после удара.

3.4.6. Определите момент сил трения в оси вращения по формуле (10). Значение момента инерции стержня примите равным экспериментальному значению J_э.

3.4.7. Рассчитайте работу сил трения в оси по формуле (11).

3.4.8. Результаты расчетов динамических величин шарика и стержня занесите в табл. 2.

Таблица 2

Расчет динамических величин шарика и стержня

Jэ	Jт		Lш	Lст
кг · м2	кг · м2	%	кг · м2/с	кг · м2/с	Дж	Дж	Н · м	Дж

3.4.9. Сделайте вывод о возможности применения законов сохранения момента импульса и механической энергии системы «шарик – стержень» для определения момента инерции стержня.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3