14

Лабораторная работа №

Определение тепловых характеристик металлов методом температурной волны

Цель работы: Экспериментально исследовать явление теплопроводности твердых тел.

Общее уравнение переноса. При нарушениях равновесия в средах возникают потоки теплоты, либо массы, либо импульса и т.п. В связи с этим, соответствующие процессы носят название явлений переноса. Явления переноса представляют собой необратимые процессы.

Рассмотрим на примере идеального газа, как можно получить общий вид уравнения переноса. В следующем пункте будет показано, что оно оказывается применимым и для описания теплопроводности твердых тел.

Введем некоторую скалярную величину , которая характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Этим свойством может быть энергия, импульс, концентрация, электрический заряд и т.д.

Известно, что градиентом какой-либо величины (скалярной) , зависящей от координат, называется вектор, характеризующий быстроту изменения этой величины в пространстве. Этот вектор направлен в сторону наиболее быстрого возрастания и численно равен быстроте этого возрастания.

Если в равновесном состоянии величина постоянна по объему, то при наличии градиента имеет место движение этой величины в направлении его уменьшения.

Для удобства расчетов предположим, что в неограниченной среде перенос количества происходит в одном направлении, вдоль которого направим ось . Пусть ось направлена вдоль градиента (т.е. противоположно направлению переноса величины ). Выделим в среде площадку , перпендикулярную к оси (рис.1).

Рис.1. К выводу общего уравнения переноса

Как показывают расчеты, среднее расстояние вдоль оси , которое проходят молекулы, пересекающие площадку после последнего столкновения, определяется выражением:

, (1)

где – средняя длина свободного пробега молекулы.

Запишем на расстоянии от площадки с учетом того, что эта величина в большинстве случаев достаточно мала и ограничившись первым членом разложения в ряд Тейлора в точке :

. (2)

Запишем известную формулу для числа молекул, пересекающих единичную площадку в единицу времени, т.е. для плотности потока числа молекул в направлении оси :

 (3)

где – концентрация молекул вещества,

– средняя скорость молекул вещества.

Тогда плотность потока сквозь площадку в направлении отрицательных значений оси равна

, (4)

а в направлении положительных значений оси дается выражением

, (5)

Следовательно, суммарная плотность потока в положительном направлении оси в точке имеет вид

, (6)

где – концентрация молекул вещества,

– средняя скорость молекул вещества,

– средняя длина свободного пробега молекулы,

– частная производная величины по .

Уравнение (6) является основным уравнением процессов переноса количества .

Здесь использован символ частной производной, поскольку величина зависит и от времени и от координаты .

Уравнение Фурье для теплопроводности твердых тел. Теплопроводность – это процесс переноса теплоты из области с более высокой температурой в область, где она ниже, в результате теплового движения микрочастиц в среде. Таким образом, передача теплоты при теплопроводности приводит к выравниванию температуры среды.

Механизм переноса теплоты в твердом теле отличается от данного механизма в газах и жидкостях. Он определяется характером тепловых движений в твердом теле, то есть спецификой строения твердого тела. Твердое тело представляет собой совокупность частиц, находящихся в состояниях устойчивого равновесия и совершающих колебания каждая около своего такого положения устойчивого равновесия. Эти колебания независимы друг от друга и могут передаваться (со скоростью близкой к скорости звука) от одних частиц к другим. При этом образуется волна, которая и переносит энергию колебаний. Следовательно, теплопроводность в твердом теле осуществляется не за счет перемещения молекул или атомов, а посредством взаимодействия между частицами, в результате которого их тепловое движение приобретает коллективный характер.

Коллективное движение атомов кристалла характеризуют путем введения понятия фононов – квазичастиц (т.е. не являющихся частицами в обычном понимании), осуществляющих перенос энергии теплового движения. При таком рассмотрении энергию колебаний атомов кристалла можно представить как сумму энергий отдельных фононов (квантов энергии поля упругих колебаний), а твердое тело можно рассматривать как объем, заполненный своеобразным газом невзаимодействующих частиц – фононным газом.

Таким образом, тепловое движение в твердом теле описывается с помощью модели идеального газа фононов. Фононы, подобно атомам идеального газа, сталкиваясь друг с другом, движутся между стенками сосуда – поверхностями, ограничивающими твердое тело. Фононы не являются частицами: их нельзя представить в вакууме, их число может изменяться при нагревании или охлаждении твердого тела, т.е. число фононов не сохраняется. Фононы могут существовать в любом из состояний с уровнем энергии , где – частота колебаний атомов.

Рассмотрим передачу теплоты в твердом теле. При этом ограничимся рассмотрением одномерной задачи, когда температура среды, помимо времени, зависит только от одной пространственной координаты.

Как было сказано ранее, фононы в твердом теле подобны атомам идеального газа, и поэтому сначала рассмотрим уравнение переноса для идеального газа (6).

В случае теплопроводности введенная в предыдущем пункте величина есть средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Она переменна в том случае, если от точки к точке меняется температура. При этом – плотность потока теплоты, которая входила в уравнение (6) и которую далее будем обозначать .

Из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы имеем

(7)

где – температура,

– число степеней свободы молекулы,

– постоянная Больцмана,

– число Авогадро,

– универсальная газовая постоянная,

– молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Тогда, подставляя это в уравнение переноса (6), получим

æ , (8)

где – плотность вещества,

– удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,

– масса молекулы.

То есть уравнение Фурье для теплопроводности:

æ , (9)

где – плотность теплового потока (то есть количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади поверхности),

æ – коэффициент теплопроводности.

Уравнение (9) можно обобщить на трехмерный случай:

æ (10)

В уравнении Фурье для теплопроводности знак “–“ выражает направление переноса теплоты от области с большей температурой к области с меньшей температурой, тогда как градиент направлен в сторону возрастания этой величины. Коэффициент теплопроводности æ является физическим параметром, характеризующим интенсивность процесса теплопроводности в веществе, т.е. скорость переноса теплоты. Размерность коэффициента теплопроводности в системе СИ – ватт на метр и на градус Кельвина: [æ] .

Теплопроводность зависит от агрегатного состояния вещества, его состава, чистоты, температуры, давления и других факторов. Так, теплопроводность твердых тел при нормальных условиях обычно в несколько тысяч раз больше теплопроводности жидкостей, и в сотни тысяч и миллионы раз больше, чем теплопроводность газов.

В соответствии с уравнением (8), учитывая, что в твердом теле рассматривается движение фононов по аналогии с движением молекул идеального газа, получаем, что коэффициент теплопроводности твердых тел равен

æ_ф , (11)

где – плотность твердого тела,

– скорость звука в твердом теле,

– средняя длина свободного пробега фононов,

– удельная теплоемкость твердого тела.

Кроме того, следует отметить, что в твердых телах теплота переносится не только тепловыми колебаниями атомов и молекул (фононами), как говорилось выше, но и свободными электронами твердого тела. Электроны активно участвуют в переносе теплоты. Для описания электронной теплопроводности на основе электронной кинетической теории вводится понятие о средней длине свободного пробега электронов по аналогии с длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае коэффициент теплопроводности твердого тела вычисляется по формуле, аналогичной (11):

æ_эл , (12)

где – средняя скорость свободных электронов в твердом теле,

– средняя длина свободного пробега свободных электронов,

– плотность электронного «газа»,

– удельная теплоемкость электронного «газа».

Таким образом, теплопроводность твердых тел в подавляющем большинстве случаев обусловлена двумя механизмами: движением электронов проводимости (электронная теплопроводность, æ_эл) и тепловыми колебаниями атомов и молекул твердого тела (фононная теплопроводность, æ_ф). Первый механизм доминирует в металлах, второй определяет теплопроводность неметаллов. В некоторых полупроводниках, полуметаллах и сильно разупорядоченных сплавах оба механизма дают сравнимые вклады в теплопроводность.

Большинство сплавов, используемых на практике, содержит достаточное количество примесей, что придает им желаемые механические и тепловые свойства. Присутствие примесей обычно слабо влияет на решеточную теплопроводность, но подавляет электронную компоненту.

Итак, суммарная теплопроводность твердого тела определяется формулой

æ æ_эл æ_ф (13)

Уравнение теплопроводности, зависящее от времени. Если неравномерно нагретая система предоставлена самой себе, то в результате теплопроводности происходит выравнивание температур, т.е. температура тела в каждой его точке изменяется с течением времени. Для анализа изменения температуры во времени получим уравнение теплопроводности, зависящее от времени.

Пусть в некоторой среде имеется поток теплоты в направлении, параллельном оси X. Выделим в среде объем dV в виде цилиндра, площадь основания которого S (рис.2), а высота, направленная вдоль оси X, равна dx. По определению плотности потока, количество теплоты, поступающее в объем dV цилиндра в течение промежутка времени dt, равно

(14)

dV

S X

x x+dx

Рис.2. К выводу уравнений переноса, зависящих от времени

Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь членом, линейным по dx, получаем

; (15)

следовательно, выражение (14) принимает вид:

. (16)

Но эту теплоту можно представить в виде , где – масса цилиндра, – удельная теплоемкость, – повышение температуры. Приравнивая оба выражения и учитывая (9), получим

(æ ) (17)

Рассмотрим случай, когда коэффициент теплопроводности æ не зависит от координат. Тогда, если ввести величину

æ , (18)

называемую коэффициентом температуропроводности, уравнение (17) принимает вид:

(19)

Уравнение (19) можно обобщить на случай, когда направление распространения теплоты не совпадает с осью X, а имеет произвольное направление:

(20)

С помощью уравнения (20) можно изучить изменение температуры во всех точках тела при заданном распределении температуры в начальный момент времени (начальные условия) и при определенных условиях на границе тела (граничные условия).

Скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности. Поэтому, при прочих равных условиях, температура будет выравниваться быстрее в теле с большим коэффициентом температуропроводности.