2. Контрольні завдання
Загальні вказівки
При вирішенні задач необхідно вивчити відповідний теоретичний матеріал, заздалегідь розібрати і самому повторити вирішення типових задач в окремих розділах.
При вирішенні задач необхідно дотримувати наступні вимоги:
1) виписувати умови задач повністю, без скорочень;
2) супроводжувати рішення коротким пояснювальним текстом; при застосуванні діаграм приводити графічне зображення рішення і необхідні аналітичні залежності з достатнім поясненням;
3) приводити обчислення в розгорненому вигляді;
4) давати значення фізичних величин в системі СІ;
5) формулювати пояснення по ходу рішення завдань; не допускати скорочень і умовностей в тексті;
6) проводити короткий аналіз отриманих результатів рішення задачі і робити відповідні виводи;
Приклади вирішення задач
А. Рівняння стану ідеального газу
Рівняння Клапейрона:
для 1 кг ідеального газу: ;
для М кг ідеального газу ;
для 1 кмоля ідеального газу ,
де Р ‑ абсолютний тиск газу, Н/м2; ‑ питомий об'єм газу, м3/кг; V ‑ об'єм газу, м3; Vµ ‑ об'єм 1 кмоля газу, м³; µ ‑ маса 1 кмоля газу, кг; R – газова стала, віднесена до 1 кг газу, Дж/(кгК); Т ‑ абсолютна температура газу, К.
Газова стала, віднесена до 1 кг газу:
, Дж/(кгК);
де 8314 ‑ універсальна газова стала 1 кмоля газу, Дж /(кмоль·К).
Абсолютний тиск газу визначається із наступних співвідношень:
‑ якщо абсолютний тиск більше тиску навколишнього середовища
, Н/м²,
де Рн ‑ надмірний тиск, вимірюваний манометром, Н/м²;
В ‑ тиск навколишнього середовища, вимірюваний барометром, Н/м²;
‑ якщо абсолютний тиск менше тиску навколишнього середовища
, Н/м²,
де РВ ‑ розрідження, вимірюване вакуумметром, Н/м².
Приклад 1. Визначте температуру кисню, який знаходиться в резервуарі місткістю V = 10 м3 за умови, що на манометрі Рн = 7·105 Н/м², барометричний тиск В = 740 мм рт.ст., масса газу М=100 кг.
Рішення. З рівняння Клапейрона для маси М кг газу Т = PV/(MR). Тоді:
Н/м²;
Дж/(кгК);
K.
Б. Теплоємність газів
Теплоємність газів ‑ це кількість теплоти, що потрібна для нагріву (або охолоджування) одиниці кількості речовини на 1ºС. Розрізняють відповідно масову с кДж/(кг·К); об'ємну с' [кДж/(м3·К) ] і молярну µс [кДж/(кмоль·К)] теплоємності.
Залежно від умов нагріву (або охолоджування) розрізняють відповідно ізохорну , , і ізобарну , , теплоємності.
Теплоємність ‑ величина змінна і значення теплоємностей ідеальних газів зростають з підвищенням температури. Тому в розрахунках витрати теплоти для нагріву газу використовується не дійсна, а середня теплоємність в заданому інтервалі температур, наприклад:
,
де QР ‑ кількість підведеної теплоти до М кг газу при нагріві в інтервалі температур від t1 і до t2 при постійному тиску, кДж;
‑ середня масова теплоємність при постійному тиску в інтервалі температур від t1 до t2, кДж/(кг К),
де і ‑ середні теплоємності при постійному тиску в інтервалі температур від 0 до t1 і t2, визначувані за відповідними таблицями.
В деяких розрахунках, що не вимагають великої точності, можна допустити, що c=const, тобто теплоємність не залежить від температури, тоді масові і об'ємні теплоємності визначають з молярних, залежних тільки від атомності газів. Зв'язок між молярною, масовою і об'ємною теплоємностями представлений таким чином:
,
де 0 – густина газу за нормальних умов.
Наближені значення молярних теплоємностей при постійному тиску (с=const) наведені в табл. 2.1.
Таблиця 2.1.
-
Параметр
Газ
одноатомний
двоатомний
трьох- і багатоатомний
, кДж/(кмоль·К)
12,56
20,93
29,31
μcp, кДж/(кмоль·К)
20,93
29,31
37,68
Приклад 2. Визначте середню відповідно масову и об’ємну теплоємність повітря в процесі V=const в межах температур від t1=200°С до t2=500°С, вважаючи, що залежність теплоємності від температури криволінійна.
Рішення
, кДж/(кг·К);
, кДж/(м3·К)
Приклад 3. Визначте кількість теплоти, яку потрібно підвести до резервуару місткістю V0 = 3 м3 CO2 при Р = 7·10 Н/м², для нагріву від температури t1= 200°С до t2= 700°С в процесі Р=const. Теплоємність прийняти постійною.
Рішення (у двох варіантах):
Варіант 1.
З характеристичного рівняння маса газу
де
Варіант 2.
Об'єм газу за нормальних умов з рівняння об'єднаного закону Гей-Люсака і Бойля – Маріота:
де Р, V0 , Т ‑ задані відповідно тиск, об'єм і температура газу ; Рн, Vн, Тн ‑ ті ж параметри за нормальних умов.
Як видно з рішень по обох варіантах, кількості підведеної теплоти приблизно однакові.
В. Газові суміші
Газова суміш ‑ це механічна суміш газів, що не вступають в хімічні реакції між собою. Вона може бути задана масовими, об'ємними або молярними частками. Масовою часткою називають відношення маси Мi кожного газу, що входить в суміш, до загальної маси М суміші: . Об'ємною часткою називають відношення приведеного об'єму Vi газу до загального об'єму суміші Vсум газів:
де Vi ‑ приведений об'єм, тобто об'єм, який займав би компонент газу при певній температурі і тиску суміші
Молярною часткою називається відношення числа молей Ki кожного газу до числа молей суміші К ‑ Кi /К. Молярна частка чисельно дорівнює об'ємній частці:
Газова постійна суміші газів розраховується залежно від способу завдання суміші
або .
Середня (уявна) молярна маса суміші
або
Парціальний тиск кожного газу дорівнює добутку загального тиску суміші на його об'ємну частку:
Параметри газової суміші можуть бути обчислені з рівняння Клапейрона PV=MRT, де всі величини, що входять в рівняння, відносяться до суміші газів.
Приклад 4. Об'ємний склад сухих продуктів згоряння палива наступний, %: Знайти уявну молярну масу, газову постійну, густину і питомий об'єм продуктів згоряння при В=750 мм рт.ст., t = 800°С.
Рішення
кг/моль;
Дж/(кгK);
м3/кг;
кг/м3.
Г. Термодинамічні процеси ідеального газу
Термодинамічним процесом називають зміну параметрів стану робочого тіла. Існує нескінченна кількість термодинамічних процесів, їх називають політропними, і зміна параметрів в них підкоряється рівнянню: PVn = const, де n ‑ показник політропи.
Окремими процесами є ізохорний (V=const), ізобарний (P=const), ізотермічний (T=const) і адіабатний (dq=const), який протікає без відведення і підведення теплоти. Для будь-якого процесу зміна внутрішньої енергії 1 кг газу обчислюється за виразом:
при
зміна ентальпії:
при
зміна ентропії:
Приклад 5. В закритій посудині знаходиться повітря при тиску Р1=5 бар і температурі t1 = 27С. Визначте тиск повітря після охолоджування до 0°С. Покажіть процес в P‑V і Т‑S -координатах.
Рішення. Залежність між початковими і кінцевими параметрами в ізохорному процесі наступна: . Тоді
бар.
Приклад 6. Визначте роботу ізобарного розширення азоту масою 7 кг при нагріванні в інтервалі температур від t1=2000С до t2=6000С. Покажіть процес в P‑V і Т‑S -діаграмах.
Рішення. Робота розширення
,
де М ‑ маса газу, R ‑ газова постійна, Дж/(кгK); t1, t2 ‑ відповідно початкова і кінцева температура азоту, 0С.
Дж/(кгK);
Дж 831 кДж.
Приклад 7. 0,2 кг кисню при температурі t1=250С розширюється ізотермічно до триразового збільшення об'єму. Визначте кількість теплоти, що надається тілу.
Рішення. Оскільки в ізотермічному процесі вся підведена теплота йде на здійснення роботи, то
де Q ‑ підведена теплота, Дж; М ‑ маса газу, кг; R ‑ газова постійна, Дж/(кг·К); Т – температура газу, К; V1 і V2 ‑ відповідно початковий і кінцевий об'єм, м3.
кДж.
Приклад 8. Газ СО при тиску Р1=0,9 бар і початковій температурі t1=120С адіабатно стискається до тиску Р2=3,6 бара. Визначте температуру в кінці стиснення.
Рішення. Кінцеву температуру визначають із співвідношення параметрів Р і Т в адіабатному процесі:
де k – показник адіабати. Для двоатомного газу k=1,4. Тоді
.
Позначимо через N. lg N = 0,286ln4 = 0,286·0,602 = 0,172. Звідси N=1,49. Отже T2=285·1,49 = 425 K.
Д. Термодинамічні процеси зміни стану водяної пари
Водяна пара – робоче тіло в парових турбінах і машинах, теплоносій в різних теплообмінниках і т.д. Водяна пара не може розглядатися як ідеальний газ і до неї не застосовні залежності, отримані для ідеальних газів, в тих випадках, коли вони є робочим тілом парових установок.
Графічне зображення термодинамічних процесів з водяною парою
Ізохорний процес (V=const ). На P‑V -діаграмі ізохору зображують відрізком прямої, паралельної осі ординат; на T‑S -діаграмі ‑ в області вологої насиченої пари ‑ кривою лінією з опуклістю вгору, а в області перегрітої пари ‑ опуклістю вниз.
Ізобарний процес (P=const). На P‑V-діаграмі ізобару зображують горизонтальною прямою лінією; на T‑S-діаграмі ‑ в області вологої пари ізобара є одночасно і ізотермою, і її зображають горизонтальною прямою; в області перегрітої пари ‑ кривою з опуклістю вниз; на I‑S-діаграмі в області вологої пари – це похила пряма, а в області перегрітої пари ‑ крива з опуклістю вниз.
Ізотермічний процес (T=const). На P‑V-діаграмі ізотерму зображають в області вологої пари горизонтальною прямою, в області перегрітої пари ‑ кривою з опуклістю вниз; на T‑S-діаграмі ‑ це горизонтальна пряма. В I‑S-діаграмі в області вологої пари ізотерма співпадає з ізобарою, а в області перегрітої пари її зображають кривою з опуклістю вгору.
Адіабатний процес. На P‑V-діаграмі адіабату зображають кривою з опуклістю вниз, що йде в області вологої пари більш полого, ніж в області перегрітої пари; на T‑S і I‑S-діаграмах – це вертикальні прямі.
Основні розрахункові формули для процесів, в яких водяна пара є робочим тілом, зведені в табл. 2.2.
Таблиця 2.2
Основні розрахункові формули
Найменування процесу |
Зміна внутрішньої енергії |
Теплота, яка бере участь в процесі |
Робота процесу |
Ізохорний |
|
|
|
Ізотермічний |
|
|
|
Ізобарний |
|
|
|
Адіабатний |
|
|
|
Значення параметрів для сухої насиченої пари, води і перегрітої пари беруть з таблиць водяної пари. Значення параметрів вологої насиченої пари визначають за такими формулами:
vx = v'(1-x) + v"x; ix = i'(1-x) + i"x; Sx = S'(1-x) + S"x;
де x ‑ ступінь сухості; ', i', S' і '', i'', S'' – питомий об'єм, ентальпія і ентропія відповідно киплячої рідині і сухої насиченої пари (беруть з таблиць водяної пари).
Необхідні значення параметрів для будь-якої пари також можуть бути визначені по I‑S-діаграмі, але з меншою точністю.
Приклад 10. Визначте кількість теплоти, що підводиться до 2 кг вологої насиченої пари в процесі =const при P=0,55 МПа і ступені сухості x=0,9 для отримання сухої насиченої пари.
Рішення. Теплота, що підводиться ;
U 1 = M (i1 ‑ P1 1);
U2 = M (i2 ‑ P2 2).
По I‑S-діаграмі водяної пари знаходимо:
i1=2547 608 кДж/кг; i2=2765 660 кДж/кг;
1=0,3 м3/кг; 2=0,3 м3/кг; P2=0,64 МПа.
Тоді
кДж;
кДж;
кДж.
П риклад 11. Визначте кількість теплоти, що витрачається на перегрів 5 кг вологої насиченої пари із ступенем сухості x=0,98 при Р=const=3 МПа до температури t = 450°С.
Рішення. По I‑S-діаграмі водяної пари знаходимо: i1 = 2765 кДж/кг; i2 = 3344 кДж/кг.
Тоді:
кДж.
Приклад 12. 1 кг вологої насиченої пари при P1=1,5 МПа і x1= 0,8 ізотермічно розширюється до P2= 0,8 МПа. Визначте кількість теплоти, зміну внутрішньої енергії і роботу розширення.
Рішення
По I‑S-діаграмі знаходимо:
1 = 0,105 м3/кг; 2 = 0,25 м3/кг;
i1 = 2400 кДж/кг; i2 = 2832 кДж/кг;
S1 = 5,61 кДж/(кг·К);
S2 = 6,79 кДж/(кг·К).
Кількість теплоти:
Q = T(S2-S1) = (198 + 273)·(6,79 ‑ 5,61) =
=556 кДж/кг.
Внутрішня енергія в початковому стані:
Дж/кг.
Внутрішня енергія в кінцевому стані:
Дж/кг.
Робота розширення
і = q – ΔU = 556 – (2632 ‑ 2242) = 166 кДж/кг.
Е. Паливо. Матеріальний і тепловий баланси процесу горіння
Елементарний склад твердих і рідких палив записується у вигляді суми вмісту в них вуглецю С, водню Н, кисню О, сірки S, азоту N, золи А і вологи W у відсотках на 1 кг палива. Залежно від того, яка маса палива береться в розрахунок, кожному числу привласнюється відповідний надрядковий індекс:
горюча ;
суха ;
робоча .
Елементарний склад палива з однієї маси на іншу перераховують згідно з формулами табл. 2.3.
Таблиця 2.3
Коефіцієнти перерахунку мас палива
Задана маса палива |
Маса палива, на яку робиться перерахунок |
||
горюча |
суха |
робоча |
|
горюча |
1 |
|
|
суха |
|
1 |
|
робоча |
|
|
1 |
Перерахунок елементарного складу палива з однієї вологості (зольності) на іншу ведеться за формулами, %:
За відсутності табличних даних теплоту згоряння палив необхідно визначати в калориметричних бомбах. Для орієнтовних розрахунків нижча теплота згоряння твердих або рідких палив може бути розрахована по формулі Менделєєва, ккал/кг:
,
або кДж/кг:
.
Вища і нижча теплоти згоряння робочої маси зв'язані виразом:
.
Для порівняння теплової цінності різних видів палива використовують умовне паливо, яке має теплоту згоряння, рівну 29300 кДж/кг. Витрату натурального палива на умовне перераховують за формулою:
Ву = ВЕ,
де Bу і В ‑ витрата відповідно умовного і натурального палива, кг/с; Е ‑ тепловий еквівалент палива
.
Мінімальна (теоретична) кількість повітря, необхідна для повного спалювання 1 кг твердого або рідкого палива при α = 1,0 м3/кг:
Дійсна кількість повітря визначається добутком коефіцієнта надлишку повітря і теоретичної кількості повітря, м3/кг:
.
Об'єм продуктів згоряння, що утворилися при спалюванні 1 кг палива в теоретично необхідній кількості повітря
де об'єми продуктів згоряння кожного компоненту відповідно будуть:
Об'єм продуктів згоряння при спалюванні 1 кг палива і дійсній кількості повітря, м3/кг:
Ентальпія продуктів згоряння IГ (кДж/кг), (кДж/м3) при α=1 визначається як сума добутків об'єму елементарних продуктів згоряння, їх питомої теплоємності С, температури θ, ентальпії надмірного повітря і золи IЗ:
де ‑ теоретичні об'єми продуктів згоряння палива і повітря, м3/кг, м3/м3; αун – частка золи, що виноситься газами; СЗ – питома теплоємність золи, кДж/(кг·К).
Елементарний склад газоподібних палив звичайно приводиться як процентний вміст окремих газів: оксиду вуглецю СО, водню Н2, метану СН4, етану С2Н6, кисню О2, азоту N2 та інших.
Теплота згоряння газоподібних палив підраховується як сума добутків теплоти згоряння окремих компонентів і їх вмісту в 1 м3 газоподібного палива, МДж/м3:
Мінімальний (теоретичний) об'єм повітря, необхідний для спалювання 1 м3 газоподібного палива, м3/м3:
.
Теоретичний об'єм азоту:
.
Об'єм трьохатомних газів:
.
Об'єм сухих газів:
Теоретичний об'єм водяної пари:
де dГ – вологовміст газоподібного палива, віднесений до 1 м3 сухого газу, г/м3.
Дійсний об'єм продуктів згоряння при α >1, м3/м3:
.
(При спалювання сланців об'єми продуктів згоряння обчислюються з поправкою на розкладання карбонатів К).
Розрахунковий зміст золи з урахуванням карбонатів, що розклалися, %:
Об'єм вуглекислоти, м3/кг;
Об'єм газів, м3/кг:
.
При спалюванні суміші палив об'єми і ентальпії продуктів згоряння пропонується розраховувати для кожного палива окремо на 1 кг твердого або рідкого і на 1 м3 газоподібного палива.
По отриманих для кожного палива значень Vo, VRO2, VN2 визначаються об'єми повітря і продуктів згоряння суміші, м3/кг. Для суміші двох однорідних палив (твердих, рідких або газоподібних):
де g' – масова частка першого палива в суміші.
По аналогічних формулах визначають суміші. Розрахунок ведеться на 1 кг твердого або рідкого палива. Для суміші твердого або рідкого палива з газоподібним паливом заздалегідь визначається кількість газу Х, що приходиться на 1 кг палива.
Об'єм повітря, м3/кг:
Аналогічно розраховують об'єми вуглекислоти, азоту, водяної пари. Питома теплоємність продуктів згоряння (середня), кДж/(м3·К):
Теоретична температура горіння:
Коефіцієнт надлишку повітря за даними газового аналізу продуктів згоряння визначають по наступних формулах:
- при повному згорянні палива, коли в продуктах згоряння відсутні продукти неповного горіння
- при вмісті в продуктах згоряння горючих компонентів спочатку визначають надмірний вміст кисню, %:
а потім по формулі – коефіцієнт надлишку повітря.
Приклад 13. Визначте кількість повітря, теоретично необхідну для спалювання 1 кг палива наступного складу, %: CP=37,2; HP=2,6; SP=0,6; NP=0,4; OP=12; WP=40; AP=7,2, а також об'єм продуктів згоряння при коефіцієнті надлишку повітря α = 1,2.
Рішення. Визначаємо теоретично необхідну кількість повітря:
, м3/кг.
Визначаємо об'єм продуктів згоряння, м3/кг:
Приклад 14. Визначте нижчу і вищу теплоти згоряння робочої маси вугілля марки Д, якщо склад його горючої маси, %: CГ=78,5; HГ=5,6; =0,4; NГ=2,5; OГ=13. Зольність сухої маси AС=15,0 % і вологість WP=12,0 %.
Рішення. Користуючись коефіцієнтами перерахунку з табл. 2.3, визначаємо зольність робочої маси палива Ар і склад робочої маси, %:
Нижча теплота згоряння робочої маси палива:
, кДж/кг.
Вища теплота згоряння:
кДж/кг.
Ж. Вторинні енергоресурси
Використання теплоти відхідних газів для отримання гарячої води і пари
Відхідні котельні гази використовують у водяних утилізаторах (економайзерах) і в котлах-утилізаторах для отримання гарячої води і пари.
Витрата відхідних газів з котельні, м3/с:
де n ‑ кількість котлоагрегатів; BP ‑ розрахункова витрата палива, кг/с; і ‑ теоретично необхідний об'єм відповідно газів і повітря, м3/кг (м3/м3); αУ – коефіцієнт надлишку повітря за утилізатором; θ – температура газів на вході в утилізатор, oC.
Кількість теплоти, що віддається відхідними котельними газами утилізатору, кДж/с:
де ‑ середня витрата відхідних газів при їх охолоджуванні в утилізаторі від θ до θ', м3/с;
‑ середня об'ємна теплоємність газів, кДж/(м3·К);
θ' ‑ температура газів на виході з утилізатора, oC.
Використання теплоти пічних відхідних газів для отримання пари
Кількість виробленої теплоти у вигляді пари в утилізаторі за рахунок теплоти відхідних газів, кДж/с:
де ІГ, ІГ ‑ ентальпія газів на виході відповідно з печі і з утилізатора, кДж/кг (кДж/м3); β ‑ коефіцієнт, що враховує невідповідність режиму і кількості годин роботи утилізатора і агрегату ‑ джерела вторинних енергоресурсів; ‑ коефіцієнт втрат теплоти утилізатора в навколишнє середовище.
Економія умовного палива за рахунок вторинних ресурсів, кг/с:
де ‑ ККД котельні, що заміщається.
Приклад 15. Визначити економію умовного палива при використанні виробленої теплоти у вигляді пари в котлі-утилізаторі за рахунок теплоти відхідних газів двох печей, якщо температура газів на виході з печей θ = 700оС, на виході з котла-утилізатора θ' = 200оС, коефіцієнт надлишку повітря за котлом-утилізатором αУ=1,35. Розрахункова витрата палива двох печей BP=0,036 м3/с, коефіцієнт, що враховує невідповідність режиму і числа годин роботи котла-утилізатора і печей β=1,0; коефіцієнт втрат теплоти котла-утилізатора в навколишнє середовище =0,12 і ККД котельні, що заміщається, =0,86. Печі працюють на природному газі Шебелінського родовища складу, %: СН4 = 94,1; С2Н6 = 3,1; С3Н8 = 0,6; С4Н10 = 0,2; С5Н12 = 0,8; N2 = 1,2.
Рішення. Теоретично необхідний об'єм повітря
м3/м3.
Об'єм трьохатомних газів
м3/м3.
Теоретичний об'єм азоту
м3/м3.
Теоретичний об'єм водяних газів
м3/м3.
Ентальпія газів на виході з печей
кДж/м3.
Ентальпія газу на виході з котла-утилізатора
кДж/м3.
(значення питомих ентальпій газів і золи беруться з додатку).
Кількість виробленої теплоти у вигляді пари в котлі-утилізаторі за рахунок теплоти відхідних газів
кДж/с.
Економія умовного палива при використанні виробленої теплоти у вигляді пари в котлі-утилізаторі за рахунок теплоти відхідних газів
кг/с,
або кг/час.