Властивості математичного сподівання:
1) математичне
сподівання сталої дорівнює цій сталій,
тобто
де
– стала;
2) сталий
множник можна виносити за знак
математичного сподівання, тобто
;
3) математичне
сподівання суми двох випадкових величин
дорівнює сумі математичних сподівань
доданків, тобто
;
4) якщо
та
незалежні випадкові величини, то
На підставі цих
властивостей, можна зробити висновок,
що математичне сподівання числа появи
події в одному випробуванні дорівнює
ймовірності цієї події. Крім цього,
математичне сподівання
числа появи
події
в
незалежних випробуваннях дорівнює
добутку кількості випробувань на
ймовірність
появи цієї події в кожному випробуванні:
Крім математичного
сподівання (середнього), для оцінки
центра групування випадкової величини
часом використовують інші її числові
характеристики. Зокрема, при вивченні
процесів, зростання яких є пропорційним
до вже досягнутого рівня (зростання
кількості населення, валового продукту
тощо), а також при розрахунках індексів
цін використовують середнє
геометричне значення
випадкової величини
,
яке розраховують за формулою
(9)
В економіці для
індексних розрахунків використовують
середнє
гармонічне
випадкової величини
,
яке розраховують за формулою
.
(10)
Таку числову
характеристику, як мода
визначають по своєму для дискретної і
неперервної випадкових величин. Для
першої з них – це її найімовірніше
значення, а для другої – це точка
максимуму її щільності розподілу
оскільки мода може бути неєдиною, то
розглядати її як одну з можливих
характеристик центра групування можна
лише для одномодальних розподілів.
Медіану
неперервної випадкової величини
визначають з умови
(11)
тобто вона є коренем рівняння
(12)
Якщо розподіл
ймовірностей випадкової величини
є симетричним щодо деякої прямої
і одно модальним, то
(13)
Розглянуті числові характеристики дають уявлення про випадкову величину тільки з однієї сторони, а саме щодо місця знаходження центра групування її значень. З їх допомогою неможливо оцінити рівень розсіювання значень випадкової величини щодо цього центра групування. Тому для розширення уявлення про розподіл ймовірностей випадкової величини використовують характеристики варіацій. Перейдемо до їх розгляду.
На перший погляд може здатися, що для оцінки розсіювання випадкової величини відносно центра групування можна знайти середнє арифметичне різниць значень випадкової величини і її середнього значення. Покажемо, що такий шлях не приведе до бажаного результату.
Нехай
– випадкова величина, а
– її математичне сподівання. Випадкову
величину
називають відхиленням.
Для нього неважко довести таку теорему:
математичне
сподівання відхилення дорівнює нулю,
тобто
(14)
На підставі цієї теореми робимо висновок, що для оцінки величини розсіювання випадкової величини взяти середнє від відхилення неможливо оскільки воно дорівнює нулю.
Напрошується інший варіант: замінити можливі відхилення їхніми абсолютними значеннями чи квадратами. Оперування з абсолютними величинами часом приводить до серйозних утруднень (не у всіх точках існує похідна тощо). Тому найчастіше використовують другий із цих двох останніх способів, а саме, обчислюють середнє значення квадрата відхилення.
Дисперсією
(розсіюванням) випадкової
величини
називається
число
,
яке дорівнює математичному сподіванню
квадрата відхилення випадкової величини
від свого математичного сподівання:
(15)
Конкретизація цієї формули окремо для дискретних і неперервних величин, відповідно дає
(16)
(17)
Дисперсія випадкової величини характеризує розсіяння значень цієї величини навколо її математичного сподівання.
Наприклад, дисперсія випадкової величини , яка дорівнює кількості “гербів”, які випали при підкиданні двох монет (закон розподілу див. табл. 2) буде дорівнювати
Оскільки
,
то звідси одержимо формулу
(18)
Таким чином для обчислення дисперсії замість формули (15) можна використовувати формулу (18), за якою ці обчислення часто можна виконати скоріше, ніж за першою з них. При цьому для дискретної випадкової величини
(19)
а для неперервної
(20)
Зокрема, для випадкової величини, закон розподілу якої заданий таблицею 2,
а
Тобто, величина дисперсії, розрахована за формулами (15) і (18) вийшла однаковою.