- •Тема 10. Системы координат в плоскости. Простейшие аффинные и метрические задачи
- •1. Введение в аналитическую геометрию
- •Классификация систем координат
- •2. Система координат на прямой Способы задания
- •Координата точки. Построение точки по ее координатам
- •3. Системы координат в плоскости. Аффинная система координат
- •Способы задания
- •Координаты точки. Построение точки по ее координатам
- •4. Аффинные задачи
- •5. Прямоугольная система координат
- •6. Метрические задачи
- •Практикум 1
Тема 10. Системы координат в плоскости. Простейшие аффинные и метрические задачи
Вопросы.
Введение в аналитическую геометрию
Система координат на прямой. Задачи
Аффинная (косоугольная). Радиус-вектор точки. Аффинные координаты точки. Построение точки по координатам.
Аффинные задачи. Координаты вектора. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка. Условие принадлежности трех точек одной прямой. Центр тяжести треугольника и многоугольника.
Прямоугольная декартова система координат в плоскости. Прямоугольные координаты точки. Построение точки по координатам.
Метрические задачи. Расстояние между двумя точками. Площадь треугольника, заданного координатами вершин.
1. Введение в аналитическую геометрию
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Точки, плоские или пространственные линии и фигуры составляют основные понятия геометрии.
Создание аналитической геометрии приписывают французским ученым – П. Ферма (1629) и Р. Декарту (1637). Термин «аналитическая» употреблялся для всяких приложений алгебры к геометрии и появился благодаря Ф. Виету, который не признавал слова «алгебра» и заменял его словом «анализ». Долгое время было принято название «Декартова геометрия», предложенное И. Бернулли (1692).
Основным для нее является метод координат, позволяющий определять положение точки на линии, поверхности, пространстве с помощью чисел или других символов, называемых её координатами и задаваемых в системе координат, выбранной в зависимости от задач исследования. Этот метод допускает обобщение на пространства более высоких размерностей.
В системе координат положение точки описывается числами: одним числом (x) на прямой, парой чисел (x; y) в плоскости, тройкой чисел (x; y; z) в пространстве и т.д. Геометрическая фигура (в частности линия), рассматривается как множество точек, удовлетворяющих геометрическому условию, записанному в виде уравнения, неравенства, системы уравнений и/или неравенств, связывающих координаты каждой точки линии.
Таким образом, основная задача аналитической геометрии – изучение свойств геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы.
Классификация систем координат
Декартовы |
Не декартовы |
|||
на прямой |
- |
|||
в плоскости |
||||
Аффинная (косоугольная) |
Прямоугольная декартова |
Полярная |
||
в пространстве |
||||
Аффинная |
Прямоугольная декартова |
Цилиндрическая |
Сферическая |
|
правая |
левая |
2. Система координат на прямой Способы задания
1) направленная прямая – ось, начало отсчета – точка О и Е1 – единичная точка (рис.1.1), говорят задана система координат (репер – инженер.) и обозначают ;
2) в одномерном векторном пространстве V1: направленная прямая – ось, начало отсчета на ней – точка О и единичный базисный вектор . В этом случае .
Рис.1.1
В дальнейшем ось будем обозначать х, Ох, или ОХ, а координату точки буквой х, например, М (х).
Точка О делит ось на два луча: луч с положительным направлением одинаково направлен с вектором и содержит точку Е1; луч с отрицательным направлением противоположно направлен вектору и не содержит точку Е1.