Задача 3
ПОДБОР СЕЧЕНИЯ ЛОМАНОГО БРУСА
Условие задачи
Для стального ломаного бруса задана нагрузка. Схемы бруса даны в двух вариантах:
вариант 1 – плоско-пространственный брус в таблице 3.1;
вариант 2 – пространственный брус в таблице 3.2.
требуется подобрать диаметр кольцевого сечения стержней бруса с соотношением внутреннего и наружного диаметров с = dв/d = 0,5.
Краткие теоретические сведения
Большинство реальных конструкций при расчёте на прочность и жёсткость изображают в виде пространственных рам, которые состоят из жёстко соединенных между собой стержней, создающих пространственный каркас. Нагрузка на рамы может быть представлена распределённой нагрузкой, сосредоточенными силами и моментами, действующими в одной (случай плоско-пространственного бруса) или в разных плоскостях (это пространственный брус).
Раму, имеющую жёсткое защемление, чаще называют пространственным или ломаным брусом. Стержни такой рамы испытывают растяжение-сжатие, кручение, изгиб в одной или обеих плоскостях инерции сечения.
Для заданного ломаного бруса требуется выполнить проектный расчёт – подобрать диаметр кольцевого сечения. Особенность ломаного бруса в том, что в его сечениях возникают изгибающие и крутящий моменты (рис. 4.1, а), значит, он испытывает изгиб с кручением, и нужно применить теории (или гипотезы) прочности. Совместное действие изгиба с кручением встречается и при расчёте деталей машин, валов редуктора и коробок скоростей и др. Здесь в первую очередь необходимо определить расчётные значения изгибающих Мизг и крутящих Мкр моментов.
Для удобства вычислений находят изгибающие моменты, действующие в вертикальной плоскости (моменты Мх) и в горизонтальной (моменты Му). Если эти моменты сложить, то получим суммарный изгибающий момент Мизг. Для круглого сечения суммарный момент Мизг также лежит в главной плоскости инерции сечения и, следовательно, вызывает обычный плоский изгиб. Величину суммарного изгибающего момента Мизг определяют как модуль суммы векторов .
От моментов Мизг и Мкр в стержне круглого сечения возникают соответственно нормальные σ и касательные τ напряжения (рис. 3.1, б), принимающие наибольшие значения у поверхности вала:
(3.1)
где – осевой и полярный моменты сопротивления.
а б
Рис. 3.1
Если выделить вокруг опасной точки (у поверхности вала) кубический элемент (рис. 3.1, б) и показать на нём действующие напряжения, то по четырём граням этого элемента будут касательные напряжения τ, из которых на двух действуют ещё и нормальные напряжения σ, а две грани свободны от напряжений. Выделенный элемент испытывает плоское напряжённое состояние, для которого условие прочности составляют по теориям (гипотезам) прочности, учитывающим одновременное действие нормальных и касательных напряжений. Для сталей, как пластичного материала, используют III и IV теории прочности.
Чаще применяют IV (энергетическую) теорию прочности, согласно которой условие прочности имеет вид:
(3.2)
Подставив в (3.2) напряжения (3.1), получим условие прочности в удобной форме:
(3.3)
где – эквивалентный момент по IV-ой теории прочности; Мизг и Мкр – соответственно суммарный изгибающий и крутящий моменты в опасном сечении (эти моменты называют расчётными значениями моментов); опасное сечение нужно установить по эпюрам изгибающих и крутящих моментов соответственно; Wx – осевой момент сопротивления кольцевого сечения стержней диаметром d,
(3.4)
Согласно условию задачи требуется подобрать диаметр d сечения, т. е. по условию прочности (3.3) выполнить проектный расчёт.
Рис. 3.2
Составить условие (3.3) можно после построения эпюр изгибающих Мх и Мy и крутящих моментов Мкр, которые позволят установить положение опасного сечения и указать величины расчётных моментов Мх, Мy и Мкр.
Необходимо заметить, что в поперечном сечении пространственного бруса могут возникать продольные силы N, поперечные силы Qx, Qy, изгибающие моменты Мх, Мy и крутящий момент Мкр (рис. 3.2). Как показали расчёты, влияние сил N, Qx, Qy на условие прочности незначительно, поэтому в условие прочности (3.3) они не входят.
Как известно, для вычисления внутренних усилий используют метод сечений, который можно выполнять по разным методикам. В этой задаче рекомендуем вести вычисление по следующим двум методикам:
методика 1 – расчёт по грузовым участкам. Рассматривают равновесие отсечённой части на каждом грузовом участке;
методика 2 – расчёт по стержням. Брус разрезают на стержни и рассматривают равновесие каждого стержня.
Ниже рассмотрены расчёты по обеим методикам.
Решение задачи 3
Вариант 1. Плоско-пространственный брус.
Плоско-пространственным брусом называют ломаный брус с заделкой, в котором нагрузка располагается в одной плоскости (в вертикальной или в горизонтальной).
Для ломаного бруса (рис. 3.3, а) плоскость нагрузки вертикальна.
Дано: P = 1,6ql, q = 17 кН/м, l = 1,2 м. Все участки бруса длиной l.
1. Построение эпюр внутренних силовых факторов
Расчёт выполняем по первой методике – по грузовым участкам. Брус имеет четыре грузовых участка: номера участков I, II, III, IV проставлены на рис. 4.3, б.
|
|
||
|
|||
|
Б |
||
|
|
||
в г |
|||
|
д
Рис. 3.3
Так как ломаный брус имеет на одном конце жёсткую заделку, а второй край свободен (это рама консольного типа), то значения внутренних усилий удобно определять, рассматривая равновесие той части, которая примыкает к свободному краю. В этом случае не нужно находить реакции в жёсткой заделке. Нумерация участков выполнена со стороны свободного конца.
Для каждого участка пользуемся правой системой координат, координатные оси выбираем таким образом, чтобы ось z всегда была продольной. Правой системой координат является та, для которой существует следующее правило направления осей: положительное направление осей xi и yi такое, что ось xi вращается до оси yi против часовой стрелки при наблюдении с положительного направления оси zi; ось yi до оси zi вращается против часовой стрелки при взгляде с оси xi и т. д.
Далее рассматриваем равновесие отсечённой части на каждом грузовом участке, указывая координаты zi текущего сечения на схеме (рис. 3.3, б). Получаем четыре отсечённые части, и для каждой составляем уравнения равновесия, как для пространственной системы:
(3.5)
Напомним правило направлений внутренних усилий:
продольная сила N положительна, если вызывает растяжение;
поперечные силы Qx и Qy положительны, если их векторы вращают отсечённую часть по часовой стрелке;
изгибающие моменты Mx и My положительны, если растягивают нижние волокна стержня;
крутящий момент Mкр при положительном направлении поворачивает поперечное сечение бруса по часовой стрелке (при взгляде на сечение).
Так как в данной схеме отсутствуют продольные нагрузки, то внут-ренних продольных сил Ni не будет.
Участок I:
QyI = + P = 1,6ql,
Участок II:
QyII = + P = 1,6ql,
.
Участок III:
Участок IV:
QyIV = + P + ql = 1,6ql + ql = 2,6ql;
По этим значениям построим эпюры поперечной силы, изгибающего и крутящего моментов (рис. 4.3, в, г).
Для построения эпюр можно пользоваться и второй методикой – расчётом по стержням. Эта методика рассмотрена ниже.
2. Подбор размеров поперечного сечения стержней
По эпюре изгибающего и крутящего моментов (рис. 3.3, г) установим положение опасного сечения: за опасное сечение принимаем конец последнего участка – заделку, где возникает наибольший изгибающий момент Mx = 4,2ql2, My = 0, а крутящий момент Mкр = 0,9ql2.
Составим условие прочности по (3.3). Подставив указанные моменты и момент сопротивления сечения по (3.4), получим
Отсюда требуемый диаметр сечения
Округлив требуемый диаметр в бóльшую сторону, принимаем d = 18 см.
Вариант 2. Пространственный брус
Пространственным брусом называют ломаный брус, в котором нагрузка имеется и в вертикальной, и в горизонтальной плоскостях. Для пространственного бруса (рис. 3.4, а) дано: q = 15 кН/м, l = 1,7 м, P = 0,8ql.