Спектры непериодических сигналов
Рассмотрим произвольный периодический сигнал, изображенный на рис. 1.5
s(t)
t
0
T
Рис. 1.5. Произвольный периодический сигнал с периодом Т.
Представим этот сигнал в виде ряда Фурье в комплексной форме
∞
s(t) =0,5 ∑Ãn exp(jnΩt).
n═ - ∞
Учитывая, что T/2
Ãn = =(2/T)∫s(t)exp(-jnΩt)dt,
-T/2
получим
∞ Т/2
s(t) =0,5 ∑(2/T) ∫ s(t)exp(-jnΩt)dt exp(jnΩt). (1.3.1)
- ∞ -T/2
C учетом Т = 2π/Ω последнее выражение перепишем в виде
∞ Т/2
s(t) =(1/2π)∑ ∫ s(t)exp(-jnΩt)dt exp(jnΩt)Ω. (1.3.2)
-∞ -T/2
- 8 -
Для получения непериодического сигнала из заданного периодического устремим период сигнала к бесконечности.
При Т→ ∞ непериодический сигнал s1(t), совпадающий на интервале периода с s(t), будет определяться как
∞ T/2
s1(t) = s(t) =lim(1/2π)∑ ∫ s(t)exp(-jnΩt)dt exp(jnΩt)Ω. (1.3.3)
T→∞ -∞ -T/2
При T→∞ частота Ω стремится к dω, nΩ – к текущей частоте ω, а операция суммирования переходит в операцию интегрирования.
С учетом выше изложенного, получим
∞ ∞
s1(t) = s(t) = (1/2π) ∫ ∫ s(t)exp(-jωt)dt exp(jωt)dω. (1.3.4)
-∞ -∞
Из последнего выражения получим
∞
S(jω) = ∫ s(t)exp(-jωt)dt – прямое преобразование Фурье и
-∞
∞
s(t) = (1/2π) ∫ S(jω) exp(jωt)dω – обратное преобразование Фурье.
-∞
S(jω) называется спектральной плотностью непериодического сигнала. S(jω) также, как и s(t) полностью описывает сигнал. S(jω) и s(t) описывают сигнал в разных системах координат.
Так как S(jω) представляет комплексную функцию частоты, то S(jω) можно представить в алгебраической
S(jω) = А(ω) + j В(ω) и (1.3.5)
экспоненциальной
S(jω) = S(ω) exp φ(ω), (1.3.6)
где
S(ω)
= √ А²(ω) + В²(ω) , φ(ω) =
arctg[В(ω)/ А(ω)].
S(ω) называется спектральной плотностью амплитуд, а φ(ω) – спектральной плотностью фаз непериодического сигнала.
Пример. Дано: прямоугольный сигнал, изображенный на рис.1.6
s(t)
E
Найти:
S(jω), S(ω) и φ(ω),
построить графики.
T Приведенный сигнал в аналитическом виде
-τ/2 0 τ/2 будет иметь
вид:
Рис. 1.6.
-
9 -
Е при -τ/2 ≤ t ≤ τ/2,
s(t) =
0 при t < -τ/2 и t > τ/2.
τ/2 τ/2
S(jω) = ∫E exp(-jωt) dt = E exp(-jωt)/(-jω)
-τ/2 -τ/2
S(jω) = E [exp(jω τ/2) - exp(-jω τ/2)]/(jω) или
Sin(ω τ/2)
S(jω) = Еτ , откуда
ω τ/2
Sin(ω τ/2) 0, если
S(jω) > 0,
S
(ω)
= Еτ , φ(ω)
=
ω τ/2 π, если S(jω) < 0.
Графики S(ω) и φ(ω) приведены на рис.1.7.
S(ω) а)
φ(ω) 2π/τ
4π/τ 6π/τ
ω
ω -π
2π/τ 4π/τ 6π/τ б)
Рис. 1.7. Спектральные плотности амплитуд (а) и фаз (б) прямоугольного импульса.