- •Глава1. Проблема аппроксимации
- •§1. Полиномиальная апппроксимация
- •§2. Интерполяционный полином в форме Лагранжа
- •§3. Интерполяционный полином в форме Ньютона
- •§4. Аппроксимация сплайнами
- •§5. Метод наименьших квадратов
- •§6. Полиномиальная интерполяция с кратными узлами
- •§7. Свойства разделенных разностей
- •§8. Задача Чебышева. Разрешимость системы
- •§9. Теорема Чебышева
- •§10. Многочлены Чебышева
- •Глава2. Численное дифференцирование
- •Глава3. Численное интегрирование
- •§1. Интерполяционные квадратурные формулы
- •1.Интерполяционные квадратурные формулы
- •2.Интерполяционные квадратурные формулы наилучшей алгебраической точности
- •3.Ортогональные многочлены и их свойства
- •§2. Применение квадратурных формул
- •§3. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)
- •§4. Правило Рунге практической оценки погрешности
- •Глава4. Алгебраическая проблема собсвенных значений
- •§1. Ортогональные матрицы
- •1.Ортогональные матрицы
- •2.Матрица элементарного поворота
- •§2. Вариационное свойство собственных значений
- •§3. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду
- •§4. Сингулярное разложение матрицы
- •§5. Сопряженная матрица
- •§6. Частная спектральная задача
- •1.Вариационный метод
- •2.Степенной метод
- •§7. Метод максимизации столбцов
- •1.Максимизация первого столбца
- •2.Алгоритм сингулярного разложения
- •3.Главное собственное число
- •§8. Метод вращения
1.Максимизация первого столбца
Рассмотрим матрицу B=AUp=(bij).
В ней: b1 = ca1+sap, bp = -sa1+cap. Остальные столбцы совпадают со столбцами А.
Свойство 1
Доказательство
Действительно:
.
Отсюда .
Что и требовалось доказать.
Выберем угол α в матрице Up так, чтобы | b1 | был максимален.
Рассмотрим функцию
Тогда .
Обозначим α=αp: f ’(α)=0. Будем выбирать αp по правилу:
а) если , то
б) иначе αp находится из равенства
в) заметим, что αp=0 тогда и только тогда, когда .
Свойство 2 Если | a1|≥| ap|, то | b1|≥| a1|≥| ap|≥| bp| и | b1|>| a1| при .
Доказательство
Действительно:
1) Пусть . Тогда и .
Следовательно, из определения f(α): .
Отсюда:
и | b1|>| a1| при .
2) Пусть .
Рассмотрим функцию .
Т.к. , , a , то
f ’’(αp)≤0, т.е. αp – локальный максимум ( ) и общий максимум функции на .
Следовательно, .
Что и требовалось доказать.
Свойство 3 Если | a1|≥| ap|, то , т.е. новые столбцы ортогональны.
Доказательство
Действительно:
Что и требовалось доказать.
2.Алгоритм сингулярного разложения
Пусть дана матрица A=(aij). Рассмотрим матрицу A1=AU1, где U1 – ортогональная матрица перестановки столбцов: первый столбец матрицы А1 максимален.
Рассмотрим последовательность матриц: Ak+1=AkUp(k) , k=1,2…,
где p(k) – номер столбца (= 2,3..n; 2,3..);
Up(k) – матрица простейшего поворота:
u11 = up(k)p(k)= c =cosα, -up(k)1 = u1p(k)= -s = - sinα,
остальные диагональные элементы равны 1,
а недиагональные – нулю.
Т.е. у всех Ak первый столбец максимальный, у всех Ak+1 первый столбец ортогонален p(k+1). При этом сумма квадратов сохраняется.
Обозначим . Действительно, тогда .
Отсюда следует лемма:
Лемма 1 Последовательность норм первых столбцов матриц сходится.
Доказательство
По Свойству 2 предыдущего пункта последовательность не убывает.
А из сохранения суммы квадратов она ограничена, а значит сходится.
Замечание Отсюда не следует сходимость векторов .
Лемма 2 Последовательность матриц {Ak} сходится поэлементно при k→∞ (без доказательства).
Т.е. . Эта матрица обладает следующими свойствами:
1)первый столбец наибольший по модулю
2)первый столбец ортогонален всем остальным.
Действительно, предположим противное . Умножим на Up1, получим требуемое.
Таким образом, получен алгоритм сингулярного разложения.
Пусть матрица А nого порядка. Построим последовательность Ak→A∞.
1.Обозначим как в процессе максимализации первого столбца. Т.о. первый столбец макимален и ортогонален всем остальлным.
2.Максимизируем второй столбец матрицы с помощью последующих, не изменяя первый. Полученная последовательность матриц сходится к некоторой матрице .
3.И т.д.
n-1. Максимизируем (n-1)ый столбец у матрицы . Получим матрицу с монотонными нормами и взаимоортогональными столбцами.
Запишем полученную матрицу в виде: , где ортогональная матрица V есть произведение ортогональных матриц.
Обозначим нормы столбцов матрицы как Sk.
Получим , где W – ортогональная матрица.
Таким образом, AV = WS, т.е. A = WSVT – SVD-разложение.