● Згідно з (5) записуємо рівняння двох бісектрис:

Звідси маємо:

(6)

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.3, §7, стор.80.

Тема 7

Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини

Мета заняття Навчитися розв'язувати задачі, користуючись умовами || та ┴ площин, формулою кута між двома площинами та відстані від точки до площини.

Розвивати просторове мислення.

Студенти повинні знати: формули обчислення кута між двома площинами, умови перпендикулярності та паралельності двох площин, формулу відстані від точки до площини.

Студенти повинні вміти: розв'язувати задачі на формули та умови паралельності та перпендикулярності двох площин, знаходити відстань від точки до площини;

‌

Основні питання теми

1.Визначення кута між двома прямими;

2.Умови паралельності двох прямих;

3.Умови перпендикулярності двох прямих;

4.Знаходження відстані від точки до площини;

5.Розвязування задач з теми

Завдання для самоперевірки

1.Записати та дослідити загальне рівняння площини.

2.Вивести рівняння площини, яка проходить через три точки.

3.Вивести рівняння площини у відрізках на осях.

4.Задано точки А(1;2;-1) і В(0;3;1). Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А перпендикулярно до вектора АВ.

5.Знайти відстань між площинами 2х – у + 2z + 9 = 0 і 4х – 2у + 4z – 21 = 0.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл. 3, стор. 87 – 88.

Лекція ”Відстань від точки до площини”

Дано площину

і точку М₁(х₁, у₁, z₁) поза нею. Знайдемо відстань від точки М₁ до площини. Нехай точка М₀(х₀, у₀, z₀) лежить на площині. Тоді відстань d від точки М₁ до площини дорівнює модулю проекції вектора , на нормаль до площини (рис. 2).

Рис. 2

Отже,

.

Оскільки

то

(1)

З найдемо відстань d від точки М₁(1, 2, 3) до площини, заданої рівнянням .

 Згідно з (1) маємо:

. 

Рівняння площини, записане у вигляді

де знак перед радикалом протилежний знаку D, називається нормальним рівнянням площини. Якщо D = 0, то вибір знака неістотний.

Щоб знайти відстань від точки М₁(х₁, у₁, z₁) до площини, слід підставити координати цієї точки в нормальне рівняння площини і знайти модуль здобутої величини.

Величина

називається відхиленням точки М(х, у, z) від площини.

Модуль відхилення дорівнює відстані від точки М(х, у, z) до площини. Якщо , то точка М(х, у, z) і початок координат лежать по один бік від розглядуваної площини; якщо , — по різні боки; якщо , то М лежить на цій площині.

Коли маємо дві площини, які перетинаються й подаються рівняннями

то бісектральні площини визначаються рівнянням

(2)

Взаємне розміщення двох площин

Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями

.

Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:

.

Кут  між площинами визначається кутом  між векторами . Отже, справджується рівність

. (1)

Умова перпендикулярності площин така:

. (2)

Умова паралельності площин:

. (3)