Понятие целого неотрицательного числа

Терминологический минимум: отрезок натурального ряда N_а; конечное множество; счет элементов множества; теоретико-множественный смысл натурального числа; теоретико – множественный смысл отношений “равно” и “меньше”.

Количественные натуральные числа. Счет.

Отрезком натурального ряда N_а натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих числа а.

N_а = { х\ х N, х  а }.

Свойства отрезков натурального ряда:

1. Любой отрезок N_а содержит единицу.

2. Если число х содержится в отрезке N_а и х а , то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится в N_а.

Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N_а натурального ряда.

Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N_а , то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут n(А) = а.

Счетом элементов множества А называется установление взаимно – однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда N_а.

Теоретико -множественный смысл натурального числа и нуля.

Любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, значит вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом все двухэлементные, и т.д.

Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Т.о. натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Нуль – общее свойство класса пустых множеств. 0 = n (  ).

Натуральное число а, как характеристику множества можно рассматривать с двух позиций:

1.Как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т. е. n(А) = а и А N_а.

2.Как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Теоретико – множественный смысл отношений “равно” и “меньше”.

Контрольные вопросы и задания.

1.Дайте определение отрезка натурального ряда и запишите множества , .

2. Что значит «пересчитать» элементы конечного множества?

3.Сформулируйте условия, которые должны соблюдать учащиеся, ведя счет предметов.

4. Прочитайте предложения n(А) =3, n(B)=5. В какой роли здесь выступает натуральное число?

5. Из школьных учебников математики для начальных классов приведите примеры двух заданий, в которых число выступает как: а) порядковое число; б) количественное число.

6. Каков теоретико-множественный смысл свойств транзитивности и антисимметричности отношения «меньше» для целых неотрицательных чисел.

7. Объясните разными способами, что: а) 3<5, б) 0<4, в) 1<6.

8. Из учебника математики для 1 класса приведите примеры трех заданий, в которых отношение «меньше» для целых неотрицательных чисел рассматривается с теоретико-множественных позиций.