- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной в упражнениях и задачах.
- •Глава 1. Введение в анализ
- •Определение функции
- •Предел функции
- •1.3. Непрерывность функций
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2. 1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •2.2. Определение производной
- •2.3. Дифференцирование функций
- •2.4. Приложения производной к задачам геометрии и механики.
- •2.5. Производные высших порядков
- •Применение второй производной в задачах механики
- •Дифференциал функции
- •2.8.Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.9.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
- •2.9. Исследование функций с помощью производных
- •2.10. Локальный экстремум функции
- •2.11.Наибольшее и наименьшее значения функции
- •2.12. Выпуклость кривой. Точки перегиба
- •2.13. Асимптоты графика функции
- •2.14. Общая схема исследования функции
- •2.15. Формула Тейлора
- •2.16.Векторная функция скалярного аргумента
- •2.17.Дифференциал длины дуги
- •2.18.Кривизна
- •Радиус, центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента
- •Литература
- •Содержание
- •Глава 1. Введение в анализ………………………………………3
- •1.1. Определение функции………………………………………………….3
- •Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной………………………………………………………..28
2.15. Формула Тейлора
Если функция непрерывна и имеет на отрезке непрерывные производные до го порядка включительно, а в каждой внутренней точке отрезка имеет конечную производную п – го порядка, то при справедлива следующая формула Тейлора:
где
- остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа :
,
Формула Тейлора позволяет приближенно представить (аппроксимировать) произвольную функцию в вид многочлена
Если в формуле Тейлора положить , то она записывается в виде
где
Полученный частный случай формулы Тейлора называется формулой Маклорена.
Остаточный член в формуле Маклорена имеет вид
Пример. Разложить многочлен по степеням двучлена , пользуясь формулой Тейлора.
Решение. Найдем значения многочлена и его производных в точке :
,
при любом х.
Подставляя найденные значения в формулу Тейлора
,
получим
Следовательно,
Пример. С помощью формулы Маклорена разложить функцию .
Решение. Вычислим значение функции в точке х = 0:
Найдем производные функции первого, второго, …,
п – го порядков и их значения в точке х = 0:
продолжая по аналогии, получим
Подставляя найденные значения в формулу Маклорена
получим
Следовательно, разложение функции в точке х = 0 имеет вид
Пример. Сколько нужно взять членов в формуле Маклорена для функции , чтобы получить многочлен, представляющий эту функцию на отрезке , с точностью до 0, 001?
Решение. Так как производные для функции любого порядка
,
то их значения при х = 0
,
Отсюда
где
Так как, по условию и , то
Следовательно, если выполняется неравенство
то будет выполняться неравенство
и для этого достаточно взять .
Таким образом, в формуле Маклорена достаточно взять семь членов.
Упражнения.
1. Разложить многочлен по степеням двучлена , пользуясь формулой Тейлора.
2. С помощью формулы Маклорена разложить по степеням х функцию
а) , б)
3. При каких значениях х приближенная формула
имеет погрешность меньше 0, 00005 ?
2.16.Векторная функция скалярного аргумента
Из курса линейной алгебры известно, что разложение любого вектора , проекции которого на оси координат равны х, у и z, имеет вид
,
где и — единичные векторы, направленные по осям координат. Если проекции х, у, z — постоянные числа, то вектор называется постоянным. Если проекции вектора являются функциями: параметра t, изменяющегося в некотором интервале:
x = x (t), y = y (t), z = z (t),
тогда вектор называется переменным; при этом каждому значению параметра t будет соответствовать определенный вектор:
.
Определение. Если каждому значению параметра t соответствует определенный вектор , то он называется вектор – функцией скалярного аргумента.
Вектор есть радиус – вектор r некоторой точки на заданной линии, то эту линию можно задать векторным уравнением:
.
Определение. Пространственная кривая, описанная концом вектора , называется годографом вектор - функции =
Начало координат называют при этом полюсом годографа.
Определение. Вектор называется пределом вектор – функции при :
.
Определение. Вектор-функция называется непрерывной при данном значении пapаметра t, если она определена в окрестности точки t и если
.
Определение. Предел
называется производной от векторной функции пo скалярному аргументу t и обозначается
Производная вектор – функции может быть вычислена по формуле
Производная есть вектор, направленный по касательной к годографу вектора в сторону возрастания параметра t .
Основные правила дифференцирования переносятся без изменения на вектор – функцию.
Уравнение касательной к пространственной кривой в точке М0 (х0, у0, z0 ) имеет вид
,
уравнение нормальной плоскости имеет вид
где
Дифференциал дуги пространственной кривой вычисляется по формуле
Пример. Найти производную вектор – функции .
Решение. Найдем производные
Подставим найденные выражения в формулу
и получим
Следовательно, производная вектор – функции
Пример. Найти производную вектор – функции в точке .
Решение. Найдем производные и вычислим их значения при :
Подставляя значения производных в формулу
получим
Следовательно, производная вектор – функции в точке
Пример. Найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой при
Решение. Определим координаты точки касания:
Найдем производные от х, у, z по t и вычислим их значения в точке касания :
Подставляя найденные значения в уравнение касательной прямой к пространственной кривой
и уравнение нормальной плоскости
Получим
Следовательно, уравнение касательной к пространственной кривой – –
уравнение нормальной плоскости –
Пример. Найти дифференциал дуги кривой
Решение. Найдем производные от х, у, z по t :
Подставляя найденные значения
в формулу
получим
Следовательно, дифференциал дуги кривой
Упражнения
1. Найти производную вектор – функции:
а) ;
б) в точке .
2. Найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой:
а) при ;
б) , при .
3. Найти дифференциал дуги кривой :
а)
б) .