Практическая работа 1

Тема: Построение математических моделей

Вариант 1

1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м материала, а для полки типа В - 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 минут работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В - 30 минут. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В - 4долл., то сколько полок надо выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?

2. Производитель элементов центрального отопления изготовляет радиаторы четырех моделей. Ограничения на производство обусловлены количеством рабочей силы и количеством стальных листов, из которых изготавливают радиаторы.

Модель радиатора	А	В	C	Д
Необходимое количество рабочей силы, человеко-часы	0,5	1,5	2	1,5
Необходимое количество стального листа, м2	4	2	6	8
Прибыль от продажи одного радиатора, долл.	5	5	12,5	10

Количество стального листа - не более 2500 м² , количество человеко-часов - не более 500. Рассмотреть эту задачу с максимизацией прибыли в качестве целевой функции.

Вариант 2

1. Фирма производит три вида продукции (А,В,С), для выпуска каждого из которых требуется определенное время обработки на всех четырех устройствах 1, 2, 3, 4.

Вид продукции	Время обработки				Прибыль, долл.
	1	2	3	4
А	1	3	1	2	3
В	6	1	3	3	6
С	3	3	2	4	4

Пусть время работы на устройствах - соответственно 84, 42, 21 и 42 часа. Определите, какую продукцию и в каких количествах следует производить. Рынок сбыта для каждого продукта неограничен. Временем, требуемым для переключения устройства в зависимости от вида продукции, можно пренебречь. Рассмотреть задачу максимизации прибыли.

2. Фирма производит два продукта А и В, рынок сбыта которых неограничен. Каждый продукт должен быть обработан каждой из машин 1, 2 и 3. время обработки в часах для каждого из изделий А и В приведено ниже:

	1	2	3
А	0,5	0,4	0,2
В	0,25	0.3	0,4

Время работы машин 1,2,3 соответственно, 40, 36 и 36 часов в неделю. Прибыль от изделий А и В составляет, соответственно, 5 и 3 долл.

Фирме надо определить недельные нормы выпуска изделий А и В, максимизируйте прибыль. Сформулируйте эту задачу как задачу линейного программирования.

Вариант 3

1. Прибыль от изделий А,В,С составляет, соответственно 3, 4. 5 единиц. Для каждого изделия требуется время использования станка I и II, которые доступны соответственно, 12 и 15 часов в день:

	А	В	С
I	2	3	3
II	4	1	2

Найдите оптимальный план производства.

2. Два изделия В1 и В2 последовательно обрабатываются на станках N1,2,3,4,5. Машинное время на единицу изделий на каждом станке указано в таблице. Здесь же приведена прибыль от каждого изделия причем объем производства второго вида продукции не должен превышать 40% общего выпуска.

Определить оптимальную программу выпуска, обеспечивающую максимальную прибыль.

Номер полуфабриката	Номер рабочего места					Прибыль, руб./шт
	1	2	3	4	5
1	4	3	2	3	0	1
2	2	0	6	5	4	1,5
Недельный фонд рабочего времени, мин	352	240	330	420	400

_____________________________________________________________________________

Вариант 4

1. На предприятии могут изготавливать два вида продукции i₁ и i₂ .на выпуск единицы продукции i₁ расходуется 3 единицы ресурса, а на единицу продукта i₂ - 1 единица того же ресурса. В плановом периоде в распоряжении предприятия имеется 300 единиц этого же ресурса. Ограничение по выпуску продукции первой и высшей категории качества выглядит следующим образом: - Зх₁ + 4х₂ ≤ 0. При этом требуется, чтобы продукции i₁ было выпущено не менее 40 единиц. Предприятие желает получить максимальную прибыль.

Каждое изделие вида i₁ дает 3 долл. прибыли, каждое изделие вида i₂ дает 4 долл. прибыли.

2. В цехе имеется шесть типов рабочих мест. В соответствии с оптимальной производственной программой на следующей неделе в цехе должны изготовлять семь типов полуфабрикатов. Производство единицы каждого полуфабриката увеличивает фонд материального поощрения. Размер прибыли от единицы каждого вида полуфабриката, время, затрачиваемое на изготовление каждого полуфабриката на каждом рабочем месте, недельный фонд рабочего времени на каждом рабочем месте указаны в таблице.

Номер полуфабри- ката	Номер рабочего места						Прибыль от единицы полуфабри- ката, тыс.руб/ш т.
	1	2	3	4	5	6
1	5	7	15	2	3	14	0,10
2	2	0	6	7	3	2	0,115
3	5	5	4	1	1	К)	0,120
4	4	8	7	0	8	5	0,090
.5	3	1	7	2	4	0	0,065
6	6	0	4	3	1	8	0,080
7	10	2	1	11	К)	7	0,160
Недельный фонд рабочего времени, тыс.мин.	21	18	27	16,8	18,6	24

Выпуск полуфабрикатов №5 не должен быть меньше 25% ,а №7 от общего объема производства. Определите оптимальную программу выпуска продукции, обеспечивающую максимальную прибыль.

Вариант 5

1. Небольшая фирма производит два типа подшипников А и В, каждый из которых должен быть обработан на трех станках, а именно токарном, шлифовальном и сверлильном. Время, требуемое для каждой из стадий производственного процесса, приведено в таблице.

Тип подшипника		Время обработки, ч ч		Прибыль от продажи одного подшипника, руб.
	Токарный станок	Шлифовальный станок	Сверлильный станок
А	0,01	0,02	0,04	80
В	0,02	0,01	0,01	125
Полное возможное время работы в неделю, ч	160	120	150

Фирма хотела бы производить подшипники в количествах, максимизирующих прибыль. Сформулировать задачу как задачу линейного программирования.

2. Постройте экономико-математическую модель для следующей ситуации. Фирма производит три вида продукции, используя для этого два вида ресурсов. Технологическая матрица задана в виде таблицы:

	Продукт 1	Продукт 2	Продукт 3
Ресурс 1	1	2	0
Ресурс 2	2	3	1

Фирма имеет в своем распоряжении 20 единиц 1-го ресурса и 25 единиц 2-го ресурса; цены, по которым предполагает реализовывать свою продукцию фирма, равны 15, 20, 30 тыс.руб. за 1-й 2-й 3-й товар, соответственно. Фирма желает получить максимальный доход.

Вариант 6

1. Средства очистки пола оценивают по следующим трем показателям:

а) очищающие свойства;

б) дезинфицирующие свойства;

в) раздражающее воздействие на кожу.

Каждый из этих показателей измеряется по линейной шкале от 0 до 100.

Продукт на рынке должен иметь по крайней мере 60 единиц очищающих свойств и по крайней мере 60 единиц дезинфицирующих свойств по соответствующей шкале. При этом раздражающее воздействие на кожу должно быть минимальным. Конечный продукт должен быть смесью трех основных очистителей, характеристики которых приводятся ниже:

Очиститель	Очищающие свойства	Дезинфицирующие свойства	Раздражающие свойства
А	90	30	70
В	65	85	50
С	45	70	10

Сформулируйте задачу нахождения оптимальной смеси как задачу линейного программирования.

2. Фирма специализируется на производстве мебели для жилых помещений. Она может производить три типа мебельных гарнитуров А,В,С, что требует различных затрат груда на каждой стадии производства:

Производственный участок	Затраты труда
	А	В	С
Лесопилка	1	2	4
Сборочный цех	2	4	2
Отделочный цех	1	1	2

В течение недели можно планировать работу на лесопилке на 360 чел-ч, в сборочном цехе - на 250 чел-ч, в отделочном цехе - на 220 чел-ч. Прибыль от продажи каждого типа гарнитуров А, В, С составляет, соответственно, 900, 1100 и 1500 долл.

A. Определите избыток чел-ч работы на лесопилке, в сборочном цехе, в отделочном цехе.

B. Для выполнения обязательств по организации интерьера гостиниц необходимо производить по крайней мере 40 гарнитуров типа С еженедельно. Как это дополнительное требование повлияет на план производства? Как при этом изменится размер прибыли предприятия?

Вариант 7

1. Фирма производит на фабрике четыре сорта изделий. Производство лимитируется . временем использования станков и количеством комплектующих изделий. Известно также, что суммарное время использования станков - 90 ч в день, а комплектующих изделий может быть поставлено не более 80 в день.

Производственные характеристики	Изделие
	1	2	3	4
Время использования станка, ч	1	3	8	4
Количество комплектующих изделий	2	2	1	3
Себестоимость изделия, ден. единиц.	20	25	40	85
Доход от продажи, ден. единиц.	30	45	80	45

Определите производственную программу для получения максимальной прибыли.

2. Фирма, выпускающая трикотажные изделия, использует для производства продукции два вида сырья. Все необходимые данные приведены в таблице.

Сырье	Запас	Затраты на единицу продукции
	сырья, кг	свитер	пуловер	костюм
Чистая шерсть	160	0,4	0,2	0,8
Силон	60	0,2	0,1	0,2
Прибыль на изделие, ден. единиц.		16	15	22

Записать в математической форме условия выпуска готовой продукции, если сырье расходуется полностью, прибыль должна быть максимальной.

_____________________________________________________________________________

Вариант 8

1. Цех производит изделия А и Б. за смену не может использоваться более 540 ед. оборудования, более 550 ед. сырья и более 450 ед. электроэнергии. Расход ресурсов на одно изделие указан в таблице. От реализации изделия А прибыль составляет 80 ден.ед., изделия Б - 70 ден.ед. Каков должен быть минимальный выпуск продукции, чтобы обеспечить прибыль не менее 2800 ден.ед.?

Ресурсы	Изделия
	А	Б
Оборудование	2	3
Сырье	1	4
электроэнергия	2	1,5

2. В торговом зале необходимо выставить для продажи товары Т1 и Т2. рабочее время продавцов не превышает 360 часов, а площадь торгового зала, которую можно занять, не превышает 120 м². каждая реализованная единица товара приносит прибыль, соответственно, в 50 и 80 ден.ед. Нормы затрат ресурсов на единицу проданного товара приведены в таблице.

ресурсы	товары
	Т1	Т2
Рабочее время, ч	0,4	0,6
Площадь, м2	0,2	0,1

Записать в математической форме условия, которым должна удовлетворять структура товарооборота, обеспечивающая прибыль не менее 40000ден.ед.

Вариант 9

1. Компания производит различные типы мебели для кабинетов. Она производит столы трех типов (1,2,3). Объем работы, необходимой для каждой операции, приводится в таблице:

Операция	Объем работы, чел-ч
	1	2	3
Изготовление частей	2	3	2
Сборка	1	2	3
Полировка и проверка	1	1	2

Максимум объема работ в неделю составляет 360 чел-ч на изготовление частей стола, 240 чел-ч - на сборку и 180 чел-ч - на полировку. Рынок сбыта расширяется , но он недолговечен, а возможности хранения ограничивают производство 170 столами в неделю. Прибыль от продажи столов типов 1, 2, 3 составляет, соответственно, 15, 22 и 19 долл. Определите оптимальный план производства.

2. Фабрика производит два основных типа товара. Изделию типа 1 требуется Зединицы сырья А и единица сырья В. Оно приносит прибыль 3 единицы. Изделию типа 2 требуется 4 единицы сырья А и 3 единицы сырья В. Оно приносит прибыль в 2 единицы. Найдите оптимальный план производства, если доступны всего 20 единиц сырья А и 10 единиц сырья В.

_____________________________________________________________________________

Вариант 10

1.Требуется определить план выпуска четырех видов продукции П1, П2, ПЗ, П4, для изготовления которых необходимы ресурсы трех типов: трудовые, материальные, финансовые. Нормы расхода ресурса, количество каждого вида ресурса указаны в таблице. Исходя из требований спроса, заданы нижние и верхние предельные границы выпуска каждого вида продукции. На основании приведенных исходных данных составить математическую модель для определения плана выпуска продукции с целью получения максимальной прибыли.

Ресурсы		Вид продукции				Располагаемый ресурс
		П1	П2	П3	П4
Трудовые		1	2	3	4	40
Материальные		6	5	4	3	112
Финансовые		4	6	8	12	100
Граница:	нижняя	12	5	2	3	-
	верхняя	-	-	-	3	-
Прибыль		60	70	120	130

2. Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с примесью пепла не более 3,25%. Доступны три сорта угля А,В,С по следующим ценам (за тонну):

Сорт угля	Содержание примеси фосфора, %	Содержание примеси пепла, %.	Цена, Долл.
А	0,06	2,0	30
В	0,04	4,0	30
С	0,02	3,0	45

Как их следует смешать, чтобы удовлетворить ограничениям на примеси и минимизировать цену?

Вариант 11

1. Фирма занимается составлением диеты, содержащей по крайней мере 20 единиц белков, 30 единиц углеводов 10 единиц жиров и 40 единиц витаминов. Как дешевле всего достичь этого при указанных в таблице ценах на 1 кг (или 1 л) пяти имеющихся продуктов?

	Хлеб	Соя	Сушеная рыба	Фрукты	Молоко
Белки Углеводы	2	12	10	1	2
Углеводы	12	0	0	4	3
Жиры	1	8	3	0	4
Витамины	2	2	4	6	2
Цена	12	36	32	18	10

2. Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из трех продуктов — сена, силоса и концентратов. Эти продукты содержат питательные вещества - белок, кальций и витамины. Численные данные представлены в таблице. В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка и кальция составляют не мене 200 и 210 г, соответственно. Потребление витаминов строго дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки.

Продукты	Питательные вещества
	Белок (г/кг)	Кальций (г/кг)	Витамины (мг/кг)
Сено	50	10	2
Силос	70	6	3
Кон	180	3	1

Составить самый дешевый рацион, если стоимость 1 кг сена, силоса и концентрата равна, соответственно, 1,5,2 и 6 рублей.

__________________________________________________________________________

Вариант 12

1. Потребитель решает вопрос о приобретении набора из двух видов товаров. Полезность единицы первого товара равна 100 единиц, второго - 250 единиц. Сформулируйте задачу потребителя, если цены на товары составляют 500 руб. и 700руб., соответственно, потребитель выделил на приобретение товаров 2 тыс.руб., и функция полезности линейна.

Выберите из этих наборов наилучший в смысле максимума полезности.

2. Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой материал, стекло и пластмассу. Основные характеристики материалов представлены в таблице.

Характеристики	Материалы
	металл	стекло	пластмасса
Стоимость (ден.ед/м2)	25	20	40
Масса (кг/м2)	10	15	30

Общая поверхность кузова (вместе с дверьми и окнами) должна составлять 14м² из них не менее 4 м² и не более 5 м² следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект?

Вариант 13

1. Объединение «Комфорт» производит холодильники, газовые плиты, морозильные шкафы и электропечи по цене 200, 180, 250 и 100 ден. ед., соответственно. Постоянным фактором, ограничивающим объемы производства, является фиксированная величина трудовых ресурсов — 12000 человеко-часов в месяц. Выяснилось, однако, что в ближайший месяц дефицитной будет и листовая сталь для корпусов указанных изделий, поскольку поставщики смогут обеспечить лишь 7000 м² этого материала.

Требуется составить план производства на данный месяц, с тем чтобы максимизировать стоимость выпущенной продукции. Известно, что для изготовления холодильника требуется 2 м² листовой стали и 3 чел-ч. рабочего времени, для газовой плиты — соответственно, 1,5 м² 3 чел-ч, для морозильного шкафа — 3 м² 4 чел-ч для электропечи — 1 м² 2 чел-ч.

2. Участник экспедиции «Северный полюс» укладывает в рюкзак, и ему требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеются мясо, мука, сухое молоко и сахар. В рюкзаке для продуктов осталось лиши 45 дм³ объема, и нужно, чтобы суммарная масса продуктов не превосходила 35 кг. Врач экспедиции рекомендовал, чтобы мясо (по массе) было больше муки по крайней мере в два раза, муки не меньше молока, а молока по крайней мере в восемь раз больше, чем сахара. Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак, с тем чтобы суммарная калорийность продуктов была наибольшей? Характеристики продуктов приведены в таблице.

Характеристики	Продукты
	мясо	мука	молоко	сахар
Объем (дм3 /кг)	1	1,5	2	1
Калорийность (ккал/кг)	1500	5000	5000	4000

Вариант 14

1. На звероферме могут выращиваться песцы, черно-бурые лисы, нутрии и норки. Для их питания используются три вида кормов. В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а также прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя.

Вид корма	Норма расхода кормов (кг/день)				Ресурс кормов (кг)
	Песец	Лиса	Нутрия	Норка
I	1	2	1	2	300
II	1	4	2	0	400
III	1	1	3	2	600
Прибыль д.е./шкурка	6	12	8	10

Определите, сколько и каких зверьков следует выращивать ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была наибольшей.

2. Завод изготавливает корпуса холодильников и комплектует их оборудованием, поставляемым без ограничений другими предприятиями. В таблице указаны нормы трудозатрат, затрат материалов для изготовления корпусов, ограничения по этим ресурсам в расчете на месяц и прибыль от реализации холодильников каждой из пяти поставок.

Найти месячный план выпуска холодильников, максимизирующий прибыль.

Наименован не ресурса	Марка холодильника					Объем ресурса
	1	2	3	4	5
1трудозаграты (чел-ч)	2	3	5	4	4	9000
Металл (м2)	2	2	4	5	0	8500
Пластик (м2)	1	3	2	0	4	4000
Краска (кг)	1	2	3	3	2	5000
Прибыль (ден.ед.)	40	70	120	120	50

Вариант 15

1. Распределить группы профилеразмеров проката между станами таким образом, чтобы себестоимость продукции была минимальной. Исходные данные: пяти групп профилеразмеров проката получают на трех станах. Фонд рабочего времени станов 1,2,3, равен соответственно, 7200, 8000 и 7500. остальные приведены в таблице.

Группа профилеразмеров	Плановое задание	Производительность станов, т/ч			Себестоимость проката, тыс.д.е./т
		1	2	3	1	2
1	30	20	30	10	80	70	105
2	40	15	15	15	100	96	90
3	100	18	20	18	120	120	120
4	20	15	15	15	85	90	95
5	80	19,5	25	30	120	110	85

2. Компания производит сверлильные станки трех видов Dl, D2, D3. Каждый вид приносит, соответственно, 10, 10 и 30 долл. прибыли. Количество станков, которое может быть произведено в течение недели, ограничено поставками комплектующих изделий F1, F2, F3, где для D1 требуется 1 штука F1, 4 штуки F2 и 2 штуки F3, для D2 - 2 штуки F1, 3 штуки F2 и 3 штуки F3, а для D3 — 10 штук F1, Юштук F2 и 8 штук F3. Каждую неделю количество доступных изделий Fl, F2, F3 составляет, соответственно, 650,850 и 650 штук.

_____________________________________________________________________________

Вариант 16

1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м материала, а для полки типа В - 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 минут работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В - 30 минут. Оборудование можно использовать 160 час. в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 долл., а от полок типа В - 4долл., то сколько полок надо выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?

2. Компания производит сверлильные станки трех видов Dl, D2, D3. Каждый вид приносит, соответственно, 10, 10 и 30 долл. прибыли. Количество станков, которое может быть произведено в течение недели, ограничено поставками комплектующих изделий F1, F2, F3, где для D1 требуется 1 штука F1, 4 штуки F2 и 2 штуки F3, для D2 - 2 штуки F1, 3 штуки F2 и 3 штуки F3, а для D3 — 10 штук F1, Юштук F2 и 8 штук F3. Каждую неделю количество доступных изделий Fl, F2, F3 составляет, соответственно, 650,850 и 650 штук.

Вариант 17

1. Распределить группы профилеразмеров проката между станами таким образом, чтобы себестоимость продукции была минимальной. Исходные данные: пяти групп профилеразмеров проката получают на трех станах. Фонд рабочего времени станов 1,2,3, равен соответственно, 7200, 8000 и 7500. остальные приведены в таблице.

Группа профилеразмеров	Плановое задание	Производительность станов, т/ч			Себестоимость проката, тыс.д.е./т
		1	2	3	1	2
1	30	20	30	10	80	70	105
2	40	15	15	15	100	96	90
3	100	18	20	18	120	120	120
4	20	15	15	15	85	90	95
5	80	19,5	25	30	120	110	85

2. Производитель элементов центрального отопления изготовляет радиаторы четырех моделей. Ограничения на производство обусловлены количеством рабочей силы и количеством стальных листов, из которых изготавливают радиаторы.

Модель радиатора	А	В	C	Д
Необходимое количество рабочей силы, человеко-часы	0,5	1,5	2	1,5
Необходимое количество стального листа, м2	4	2	6	8
Прибыль от продажи одного радиатора, долл.	5	5	12,5	10

Количество стального листа - не более 2500 м² , количество человеко-часов - не более 500. Рассмотреть эту задачу с максимизацией прибыли в качестве целевой функции.

_____________________________________________________________________________

Вариант 18