- •Министерство образования Российской Федерации
- •1. Основные определения, расчетные формулы и разбор примеров
- •1.1. Понятие функции нескольких переменных
- •1.2. Частные производные
- •1.3. Полный дифференциал и его применение
- •1.4. Дифференцирование сложных функций
- •1.5. Неявные функции и их дифференцирование
- •2. Теоретические вопросы
- •3. Варианты индивидуальных заданий
1.5. Неявные функции и их дифференцирование
Пусть - дифференцируемая функция трех переменныхии пусть уравнениеопределяеткак функцию независимых переменныхиЧастные производные этой неявной функциив точкевычисляются по следующим формулам:
и
при условии, что гдеи
Пример 8. Найти частные производные иеслиопределяется, как функция отииз уравнения
.
Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через Тогда
,
,
.
Отсюда получаем
;
.
2. Теоретические вопросы
1. Понятие функции двух переменных Геометрическое истолкование. Область определения.
2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
3. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.
4. Определение и геометрический смысл частных производных.
5. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
6. Дифференцирование сложной функции где
7. Понятие полной производной.
8. Дифференцирование сложной функции где
9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, определяемой графиком функции двух переменных.
10. Определение и геометрический смысл полного дифференциала функции
11. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Свойства дифференцируемой функции: непрерывность, существование частных производных.
12. Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных.
13. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
14. Инвариантность формы и другие свойства полного дифференциала.
15. Дифференциалы высших порядков.
16. Формула Тейлора для функции двух переменных.
17. Неявные функции и их дифференцирование.
18. Уравнение касательной к кривой, задаваемой неявной функцией.
19. Определение точек экстремума функции Необходимые и достаточные условия экстремума.
3. Варианты индивидуальных заданий
Задача 1
Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование).
1.1. .1.2. .
1.3. .1.4. .
1.5. .1.6. .
1.7. .1.8. .
1.9. .1.10. .
1.11. .1.12. .
1.13. .1.14. .
1.15. .1.16. .
1.17. .1.18. .
1.19. .1.20. .
1.21. .1.22. .
1.23. .1.24. .
1.25. .1.26. .
1.27. .1.28. .
1.29. .1.30. .
Задача 2
Найти частные производные ,от функции.
2.1. .2.2. .
2.3. .2.4. .
2.5. .2.6. .
2.7. .2.8. .
2.9. .2.10. .
2.11. .2.12. .
2.13. .2.14. .
2.15. .2.16. .
2.17. .2.18.
2.19. .2.20. .
2.21. .2.22. .
2.23. .2.24. .
2.25. .2.26. .
2.27. 2.28. .
2.29. .2.30. .
Задача 3
Вычислить производные сложных функций.
3.1. где
3.2. где
3.3. , где,
3.4. , где;
3.5. где
3.6. где;
3.7. где;
3.8. где,
3.9. где,;
3.10. где;
3.11. где;
3.12. где,
3.13. где;
3.14. где,
3.15. где
3.16. где,
3.17. где;
3.18. где;
3.19. , где ,
3.20. где
3.21. где
3.22. где
3.23. , где ,
3.24. где
3.25. где,
3.26. где;
3.27. где
3.28. , где;
3.29. , где,;
3.30. где
Задача 4
Найти частные производные ,от неявной функции.
4.1. 4.2. .
4.3. .4.4. .
4.5. .4.6. .
4.7. .4.8. .
4.9. .4.10.
4.11. .4.12. .
4.13. .4.14. .
4.15. .4.16. .
4.17. .4.18. .
4.19. .4.20. .
4.21. .4.22. .
4.23. .4.24. .
4.25. .4.26. .
4.27. .4.28. .
4.29. .4.30. .
Задача 5
Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала.
5.1. .5.2. .
5.3. .5.4. .
5.5. .5.6. .
5.7. .5.8. .
5.9. .5.10. .
5.11.. .5.12. .
5.13. .5.14. .
5.15. .5.16. .
5.17. .5.18. .
5.19. .5.20. .
5.21. .5.22. .
5.23. .5.24. .
5.25. .5.26. .
5.27. .5.28. .
5.29..5.30. .
ЛИТЕРАТУРА
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.., Высшая школа, 1980.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1. М., Наука, 1976.
5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1993.