1.Двухфакторный дисперсионный анализ.
В двухфакторном дисперсионном анализе проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий выходного контролируемого параметра y при различных уровнях двух факторов. Например, производится выпуск одинаковых изделий различными предприятиями, использующих различных поставщиков. Здесь два фактора: предприятия и поставщики. Необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий выходного контролируемого параметра (например качества изделия) при различных уровнях (предприятиях) первого и различных уровнях (поставщиках) второго фактора. Модель исследуемого объекта имеет вид:
В этой модели входные переменные x1 и x2 принимают дискретные значения, а выходная переменная y является непрерывной случайной величиной, вероятностная природа которой обусловлена наличием аддитивной помехи e.
ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ БАЗИРУЕТСЯ НА СЛЕДУЮЩИХ ПРЕДПОСЫЛКАХ:
1. В каждом наблюдении ei имеет нормальное распределение с нулевым МО и конечной дисперсией. 2. Для любого i дисперсия ei является величиной постоянной. |
Рассмотрим вычислительную процедуру двухфакторного дисперсионного анализа. Пусть x1 принимает k различных значений или фактор x1 имеет k уровней, x2 принимает m различных значений или фактор x2 имеет m уровней. Пусть на каждом из сочетаний уровней имеется n наблюдений выходной величины y. Тогда результаты можно представить в виде таблицы:
Уровни входного фактора x2 |
Уровни входного фактора x1 |
|
|||||
1 |
2 |
... |
j |
... |
k |
||
1 |
y111 ... y11n |
y121 ... y12n |
... |
y1j1 ... y1jn |
... |
y1k1 ... y1kn |
|
2 |
y211 ... y21n |
y221 ... y22n |
... |
y2j1 ... y2jn |
... |
y2k1 ... y2kn |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
i |
yi11 ... yi1n |
yi21 ... yi2n |
... |
yij1 ... yijn |
... |
yik1 ... yikn |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
m |
ym11 ... ym1n |
ym21 ... ym2n |
... |
ymj1 ... ymjn |
... |
ymk1 ... ymkn |
|
Если уровни факторов x1 и x2 не оказывают влияние на математическое ожидание y, то все наблюдения представляют собой выборку из одной генеральной совокупности (при условии выполнения приведенных выше предпосылок). Тогда, дисперсию генеральной совокупности можно оценить следующими независимыми оценками: через средние значения y для каждого из уровней факторов x1 или x2 или как среднее арифметическое оценок дисперсий y для каждого из уровней x1 или x2. Как и в однофакторном дисперсионном анализе первая оценка называется оценкой дисперсии уровней S2ур, вторая - оценкой дисперсии ошибки S2ош.
Для первого и второго факторов имеем:
где:
где: y.j. - среднее по j-му уровню первого фактора, yi.. - среднее по j-му уровню второго фактора, y... - общее среднее.
Оценка дисперсии ошибки вычисляется по формуле:
где: yij. - среднее значение y при j-м уровне первого фактора
Если влияние уровней факторов x1 и на x2 математическое ожидание отсутствует, то отношения F1 = S2ур1/S2ош , F2 = S2ур2/S2ош и Fвз = S2вз/S2ош подчинены закону распределения Фишера. Характеристики этого распределения зависят от числа степеней свободы оценок S2ур1, S2ур2, S2вз и S2ош (числа степеней свободы числителя ν1=(k-1), ν2=(m-1), νвз=(m-1)*(k-1) и знаменателя νош=m*k*(n-1) ). Для любого заданного уровня значимости α всегда существует критическое значение Fкр, превысить которое F при отсутствии влияния уровней факторов x1, x2 и их взаимодействия x1*x2 может с вероятностью не более α. Это означает, что если в результате обработки данных расчетное значение F-статистики превысит соответствующее Fкр, то данные противоречат гипотезе о равенстве математических ожиданий y для всех уровней факторов x1, x2 и их взаимодействия x1*x2. Если F<Fкр, то данные не противоречат этой гипотезе, и следует считать, что уровни не оказывают влияние на математическое ожидание y.