4. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения n-го порядка символически записываются в виде
(1)
или, если его можно разрешить относительно n-ой производной,
(1’)
Для
уравнений вида 
имеет место теорема о существовании и
единственности решения, аналогичная
существующей теореме о решении уравнения
первого порядка.
Теорема. Если в уравнении
функция
и ее частные производные по аргументам
непрерывны в некоторой области,
содержащей значения
x=x0,
y=y0,
y’=
,
… , 
то существует и притом единственное решение y=y(x) уравнения, удовлетворяющее условиям
yIx=x0=y0, y’Ix=x0=y’0, … , y (n-1)Ix=x0=y0(n-1) (2)
Эти условия называются начальными условиями.
Если рассматривать уравнения второго порядка y’’ = f(x, y, y’), то начальными условиями будут
yIx=x0=y0, y’Ix=x0=y’0 , где x0, y0, y’0 – заданные числа.
Общими
решением уравнения (1) будет функция
y = 
(x,
c1, c2,
… , cn),
Зависящая от n произвольных постоянных c1, c2, … , cn и такая, что:
а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных c1, c2, … , cn;
б) при заданных начальных условиях yIx=x0=y0, y’Ix=x0=y’0, … , y (n-1)Ix=x0=y0(n-1)
постоянные c1, c2, … , cn можно подобрать так, что функция y = (x, c1, c2, … , cn), будет удовлетворять этим условиям.
5. Уравнение вида y(n)=f(x)
Простейшим уравнением n-ого порядка является уравнение вида
y(n)=f(x) (1)
Интегрируя по x обе части этого уравнения и учитывая, что y(n)=(y(n-1))’, получим
Y(n-1)=
Где x0 – любое фиксированное значение x, c1 – постоянная.
Интегрируя еще раз, получим
Y(n-2)=
Продолжая далее, получим решение
y=
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
ylx=x0=y0 , y’lx=x0=y’0, … , y(n-1)lx=x0=y0(n-1) ,
достаточно положить cn=y0, cn-1=y0’,… , c1=y0(n-1),
Пример. Найти частное решение уравнения xy’’’=2, удовлетворяющее начальным условиям
y(1)=1, y’(1)=1, y”(1)=3
y”’=
; y’’=
y''=
3=
y’
= 2
=
y’= 2x ln x-2x+c1x+c2 1=2 ln1-2+3+c2 c2=0
y’=
=
Y=
- общее решение можно записать так:
y=
, т.к. 
Поставим начальные условия в предыдущие выражение
0*1+c3
c3=1
Частное
решение 
6.Интегрирование простейших типов уравнений второго порядка методом понижения порядка.
6.1) Уравнения вида:
F(x,y’,y’’)=0 (1)
не содержат в своей записи искомой функции у. Решаем подстановкой y’=p, где p=p(x),
тогда
y’’=
уравнение (1) будет F(x,p, )=0
уравнение первого порядка, его решение ф(x,p,c1)=0 или ф(x,p,c1)=0 – это уравнение первого порядка.
Решив его, получим
Пример. Решить уравнение
y’’=y’+x
при начальных условиях ylx=0=3, y’lx=0=0
подстановка y’=P,
y’’=
- уравнение линейное, первого порядка
P=
=
- общее решение
Найдем частное решение, подставим начальное условие в общее решении и решение
Частное решение 
Замечание: Этот метод можно использовать и для уравнений вида
Подстановка 
Получим уравнение первого порядка
Решив его, затем решаем уравнение
6.2) Уравнения вида
Не содержат в своей записи независимой переменной x.
Применяем подстановку 
т. е. 
Пример. Решить уравнение
Уравнение вида 
Подстановка 
,
- уравнение с разделяющимися переменными
или 
Замечание. Такую же подстановку можно применить и для уравнений вида
Определение и общие свойства.
Определение. Дифференциальное уравнение n-ного порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции y и ее производных y’,y”,…,y(n-1),y(n), т.е. имеет вид
,
(1)
Где a0, a1, …, an, f(x) – заданные функции от х или постоянные.
Будем рассматривать уравнения, у которых
.
Если 
,
то разделим обе части уравнения на а0.
Функция 
называется правой частью уравнения.
Если 
,
то уравнение называется линейным
неоднородным или уравнением с правой
частью.
Если же , то уравнение имеет вид
(2)
и называется линейным однородным или уравнением без правой части.
Отметим некоторые свойства линейных однородных уравнений, доказательство проведем для уравнения второго порядка.
Теореме 1. Если у1 и у2 – два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка
,
(3)
то y1+y2 есть также решение этого уравнения.
Доказательство. Т.к. у1, у2 –
решение уравнения (3), то 
(4)
Подставим в уравнение (3) вместо у, y’,y” сумму у1+у2
или 0=0, т. е. у1+у2 есть решение
уравнения.
Теорема 2. Если у1 есть решение
уравнения (3) и с – постоянная, то 
есть также решение уравнения (3)
Доказательство. Подставим в уравнение (3) , получим
.
Теорема доказана.
Определение. Два решения уравнения (3) у1 и у2 называются линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на этом отрезке не является постоянным, т. е. если
В противном случае решения называется линейно зависимыми.
Если у1, у2 линейно зависимые
на отрезке [a,b],
то 
,
т. е. 
Пример. Какие из функции 
линейно зависимые, а какие линейно
независимые?
Проверить самостоятельно.
Определение. Если y1 и y2 суть функции от х, то определитель
Называется определителем Вронского или вронскианом данных функций.
Теорема 3. Если функции y1 и у2 линейно зависимы на отрезке [a, b], то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.
Доказательство. т.к. 
,
то
Теорема 4. Если определитель Вронского
составленный для решений y1
и y2 линейного
однородного уравнения (3) не равен 0 при
каком-нибудь значения х0=х на
отрезке [a,b],
где коэффициенты уравнения непрерывны,
то он не обращается в нуль ни при каком
значении х на этом отрезке.
Доказательство. т.к. у1 и у2 – два решения уравнения (3), то
Умножим первое равенство на у1, а второе на у2 и вычтем, получим
(5)
Вычислим: 
Уравнение (5) принимает вид 
(6)
его решение: 
Откуда 
(7)
По условию wlx=x0
Wlx=x0=
,
т. е. 
ни при каком 
Следовательно 
ни при каком
Формула (7) называется формулой Лиувилля.
Замечание. Из теоремы следует, что если
следует 
,
поэтому 
Теорема 5. Если решения 
уравнения (3) линейно независимы на
отрезки [a,b],
то определитель Вронского w,
составленный для этих решений, не
обращается в нуль ни в одной точке
отрезка [a,b].
Доказательство. Допустим, что 
в некоторой точке отрезка [a,b].
Тогда по теореме (3)
во всех точках отрезка [a,b],
или 
=0
Допустим 
на отрезке [a,b]
.
отношение 
но 
т. е. решения y1 и y2 линейно зависимы на отрезке [a,b], что противоречит условию теории. Следовательно наше предположение, что w(y1,y2)=0 неверно.
w(y1,y2) во всех точках отрезка [a,b]
Теорема 6. Если у1 и у2 – два линейно независимых решения уравнения (3), то
,
(8)
где с1, с2 – произвольные постоянные, есть его общее решение.
Доказательство. Из теорем 1 и 2 следует,
что сумма 
есть решение уравнения (3) при любых
значениях с1 и с2.
Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия ylx=x0=y0, y’lx=x0=y0’ можно так подобрать с1 и с2, что полученное частное решение удовлетворяет заданным начальным условиям.
Подставим начальные условия в решение (8)
Y1’lx=x0=y10’,
y2’lx=x0=y20’
(9) где y1lx=x0=y10
, y2lx=x0=y20
Для определения с1 и с2 мы должны решить систему (9)
Определитель этой системы
есть определитель Вронского при х=х0
По теореме 5 w(y1,y2) ни при каком х. Следовательно система 9 имеет решение, с1, с2 мы определим.
Теорема 7. Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка, то нахождение общего решения сводится к интегрированию функций.
Доказательство. По теореме 6 общее решение имеет вид
с1, с2 – произвольные постоянные
у1, у2 - два линейно независимых частных решения
По теореме 4 имеем 
но 
разделим на 
или 
т. к. мы ищем частное решение у2, то пусть с=1, с*=0, получим
Общее решение данного уравнения имеет вид
