1. Парная регрессия

1.1. Получить у преподавателя файл исходных данных, на базе которого формируется выборка в соответствии с вариантом (см. Приложение 3).

1.2.Построить совокупность двумерных диаграмм рассеяния, воспользовавшись следующими пунктами меню: Statiatics → Basic Statistic/Tables → Correlation Analysis. В качестве входной переменной выбрать ту, которая оказывает наибольшее влияние на целевую переменную.

1.3.Перейти в модуль регрессионного анализа (Statiatics → Multiple Regression), оценить параметры и построить графики следующих моделей: линейной (Linear) у=а₀+а₁х₁, экспоненциальной (Exp) и обратной (Reciprocal) у=1/(а₀+а₁х₁).

1.4.Сравнить полученные модели по R² и S² и выбрать лучшую.

2. Многомерная регрессия

2.1.Наметить список объясняющих переменных для включения в многомерную линейную модель регрессии.

2.2.Вычислить матрицу коэффициентов сопряженности (корреляции).

2.3.Исследовать набор данных на мультиколлинеарность. Для этого воспользоваться модулем Principal Components ← Multivariate Explotary Techniqes ← Statiatics для вычисления собственных значений.

2.3.Построить многомерную регрессионную модель, включив в начале в нее все объясняющие переменные (характеристики исследуемых объектов) и избавляясь затем от незначимых переменных.

2.4.Проверить гипотезу, что уравнение регрессии является константой.

2.5.Для окончательной модели построить график остатков. Удостовериться по критерию Дарбина-Уотсона, что случайные возмущения некоррелированы.

2.6.Перейти в режим пошаговой регрессии и построить модель прямым и обратным пошаговыми методами.

3. Сравнение регрессий

3.1. Построить регрессию для второй выборки, указанной в варианте задания, теми же базисными функциями, которые присутствовали в адекватном уравнении регрессии п.2 задания.

3.2. Сравнить уравнения: а) по тесту Чоу, б) введением фиктивной переменной со значением 0 для первого набора и значением 1 – для второго. Остаточные суммы квадратов, используемые в тесте Чоу, подсчитываются в блоке дисперсионного анализа (Advanced → ANOVA).

Требования к отчету

Отчет должен содержать:

-таблицы основных статистик для всех рассматриваемых моделей;

-сравнительный анализ результатов одновременного (п.2.3) и пошагового (п.2.5) построения модели;

-сравнительный анализ парной и многомерной моделей с учетом изменений R² и s²;

-качественный анализ графика остатков на предмет соответствия предпосылкам классической регрессии;

-заключение о существенности мультиколлинеарности исходных переменных.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА [2, 3, 10,12]

Лабораторная работа 3. Сглаживание временного ряда

Цель: практическое освоение методов выделения трендовой составляющей временного ряда простой структуры.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Методы сглаживания временных рядов.

Пусть временной ряд y_t, t = 1,2,…,T может быть представлен в виде аддитивной совокупности двух составляющих: систематической f_t и возмущающей u_t, то есть

y_t = ƒ_t + u_t , t = 1,2,…,T.

Переменная u_t случайна, имеет нулевое математическое ожидание и одинаковую дисперсию при любом t, ее последовательные значения некоррелированы. Величину f_t называют уровнем ряда в момент t, а закон изменения уровня – трендом.

Составляющие f_t и u_t не наблюдаемы. Процесс построения модели, аппроксимирующий тренд, называют сглаживанием временного ряда.

Для выделения тренда используют ряд методов. Метод скользящего среднего (МСС) и метод экспоненциального сглаживания (МЭС) относятся к классу адаптивных, когда параметры модели меняются при переходе от одного наблюдаемого значения к другому. В неадаптивных методах с помощью обычной или взвешенной регрессии строится единая модель для всех наблюдения ряда.

В МСС с помощью метода наименьших квадратов строят полином невысокого порядка для отрезка ряда , содержащего нечетное число точек. В качестве уровня ряда берут значение оцененного полинома в середине отрезка усреднения. Затем переходят к следующему отрезку той же длины, смещенному вправо на один временной такт, и процедуру повторяют.

Ниже приводятся формулы для оценки уровня ряда f_t при длине отрезка 5 временных тактов:

и 7 временных тактов:

Варьируя длину отрезка усреднения, останавливаются на такой, при которой сглаженный ряд почти не содержит краткосрочных колебаний.

В МЭС предполагают, что ряд имеет бесконечную предысторию и с помощью взвешенного метода наименьших квадратов находят коэффициенты полинома P_t от времени t выбранной степени d (как правило, не выше третьей), то есть минимизируют

Коэффициенты полинома могут быть выражены как линейные комбинации экспоненциальных средних соответствующих порядков. Экспоненциальная средняя первого порядка, иначе модель простого экспоненциального сглаживания, определяемая для полинома нулевой степени (то есть P_t = a_t), имеет вид:

Значения коэффициентов полинома в момент t могут быть выражены также через их значения в предыдущие моменты. В качестве примеров приводятся формулы для коэффициентов линейной модели y_{t =}a_t + b_tt + u_t (двойное экспоненциальное сглаживание):

Здесь e_t – ошибка прогнозирования на один шаг вперед, то есть e_t=y_t-(a_t-1 + b_t-1l).

Подбирают постоянную сглаживания α = 1 – β эмпирически, исходя из минимума ошибки прогнозирования по оцененной модели.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какой вид имеет корреляционная матрица возмущений u_t (t=1,2,…,T)?

2. Поясните смысл термина “скользящее среднее”.

3. Для сглаживания временного ряда, содержащего лишь случайный компонент u_t, применили МСС с периодом усреднения, равным 5, а затем 7 тактам. В каком случае будет меньше дисперсия сглаженного ряда? Насколько?

4. Для сглаживания ряда п.2 применим простое арифметическое усреднение 7. Будет ли меньшей дисперсия сглаженного ряда по сравнению с МСС с тем же периодом усреднения?

5. В чем отличие адаптивных методов сглаживания от неадаптивных?

6. Как линеаризовать модель ряда, если известно, что возмущения наложены на систематическую составляющую мультипликативно?

7. Из каких соображений выбирают длину отрезка усреднения?

8. Поясните происхождение термина “экспоненциальное сглаживание”.

9. Как определяются экспоненциальные средние высоких порядков?

10. Как ведет себя экспоненциальная средняя первого порядка в сравнении с исходным рядом при α = 1 – β , близком нулю, и α, близком единице?

ЗАДАНИЕ

1. Исследовать реакцию простой модели экспоненциального сглаживания на стандартные входные ряды: одиночный импульс, ступенчатое воздействие, гармонические колебания, воздействие в виде линейной и параболической функций. Каждый ряд должен содержать не менее восьми значений, горизонт предсказаний – не более половины длины ряда. Импульс и ступенька должны появиться за два такта до окончания ряда. Постоянную сглаживания alpha для каждой модели взять равной 0,1 и 0,9.

2.Для задачи прогнозирования на два такта вперед подобрать подходящую модель экспоненциального сглаживания для реального ряда, задаваемого преподавателем.

Подбор проводить по минимуму суммы квадратов отклонений.

3.Для ряда п.2 подобрать неадаптивную модель из числа возможных.

4.Перейти в режим сглаживания и с помощью простого скользящего среднего выделить трендовую составляющую, меняя длину отрезка усреднения.

Требования к отчету

Отчет должен содержать:

• графики исходных стандартных и сглаженных рядов и рекомендации по выбору порядка модели и постоянной сглаживания,

• графики исходного и сглаженного рядов для реальных данных с обоснованием длины отрезка усреднения.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА [9, 12]