Приклад виконання лабораторної роботи №2

Досліджується залежність продуктивності праці Y (т/год) від рівня механізації робіт Х₁ (%), середнього віку робітників Х₂ (років) і енергоозброєності Х₃ (КВт / 100 працюючих) по даним 14 промислових підприємств (див. таблицю свого варіанту).

Таблиця 1 – Фактори, що впливають на прибуток підприємства

№ п/п	Продуктивність праці, т/год,	Рівень механізації робіт, %,	Середній вік робітників, років,	Енергоозброєність, КВт/100 працюючих,
1	20	32	33	300
2	24	30	31	290
3	28	36	41	350
4	30	40	39	400
5	31	41	46	400
6	33	47	43	480
7	34	56	34	500
8	37	54	38	520
9	38	60	42	590
10	40	55	35	540
11	41	61	39	600
12	43	67	44	700
13	45	69	40	700
14	48	76	41	750

Рішення

Обчислимо середні значення та стандартні відхилення пояснюючих змінних . Для цього можна скористатись стандартними функціями MS Excel (СРЗНАЧ та СТАНДОТКЛ).

Дані величини можна також розрахувати за формулами:

,

,

де середнє значення -тої пояснюючої змінної;

індивідуальне значення -тої пояснюючої змінної;

стандартне відхилення -тої пояснюючої змінної;

– число спостережень.

Додаткові розрахунки наведено в таблиці 1.

Таблиця 1 – Проміжні розрахунки

№ п/п
1	20	32	33	300	388,65	36,00	43502,04
2	24	30	31	290	471,51	64,00	47773,47
3	28	36	41	350	246,94	4,00	25144,90
4	30	40	39	400	137,22	0,00	11787,76
5	31	41	46	400	114,80	49,00	11787,76
6	33	47	43	480	22,22	16,00	816,33
7	34	56	34	500	18,37	25,00	73,47
8	37	54	38	520	5,22	1,00	130,61
9	38	60	42	590	68,65	9,00	6630,61
10	40	55	35	540	10,80	16,00	987,76
11	41	61	39	600	86,22	0,00	8359,18
12	43	67	44	700	233,65	25,00	36644,90
13	45	69	40	700	298,80	1,00	36644,90
14	48	76	41	750	589,80	4,00	58287,76
Сума	492,00	724,00	546,00	7120,00	2692,86	250,00	288571,43
Середнє	35,14	51,71	39,00	508,57	192,35	17,86	20612,24
	8,08	14,39	4,39	148,99	—	—	—
	65,21	207,14	19,23	22197,80	—	—	—

За алгоритмом методу Фаррара-Глобера перший крок це нормалізація значень факторів. Нормалізуємо , використавши наведену нижче формулу.

=
	-0,366	-0,366	-0,374
	-0,403	-0,488	-0,392
	-0,292	0,122	-0,284
	-0,218	0,000	-0,195
	-0,199	0,427	-0,195
	-0,088	0,244	-0,051
	0,080	-0,305	-0,015
	0,042	-0,061	0,021
	0,154	0,183	0,146
	0,061	-0,244	0,056
	0,172	0,000	0,164
	0,284	0,305	0,343
	0,321	0,061	0,343
	0,451	0,122	0,433

Другим кроком є розрахунок кореляційної матриці R за формулою:

,

де –транспонована матриця Х^* (елементи матриці R характеризують щільність зв’язку однієї незалежної змінної з іншою);

– парні коефіцієнти кореляції.

Транспонуємо матрицю (нормалізовану) в матрицю

=	-0,37	-0,40	-0,29	-0,22	-0,20	-0,09	0,08	0,04	0,15	0,06	0,17	0,28	0,32	0,45	-0,37
	-0,37	-0,49	0,12	0,00	0,43	0,24	-0,30	-0,06	0,18	-0,24	0,00	0,30	0,06	0,12	-0,37
	-0,37	-0,39	-0,28	-0,19	-0,19	-0,05	-0,02	0,02	0,15	0,06	0,16	0,34	0,34	0,43	-0,37

Тоді, перемноживши матриці Х^* та , отримаємо:

	0,93	0,34	0,92
R =	0,34	0,93	0,39
	0,92	0,39	0,93

Як бачимо, діагональні елементи матриці R не дорівнюють одиниці, отже необхідно штучно проставити на діагоналі матриці одиниці, а до решти елементів додати різницю між одиницею й значенням діагонального елемента.

	1	0,41	0,99
R =	0,41	1	0,46
	0,99	0,46	1

Визначаємо значення

де – визначник кореляційної матриці R.

Перш за все визначимо визначник кореляційної матриці, для чого необхідно серед математичних функцій MS Excel знайти функцію “МОПРЕД”. Скориставшись нею, дістанемо: .

Оскільки наближається до нуля, то в масиві пояснюючих змінних може існувати мультиколінеарність.

Прологарифмуємо визначник матриці R: = -4,6225.

Тоді

Порівнюємо з табличним значенням при ступенях свободи і рівні значущості α = 0,05. Так як , то в масиві незалежних змінних (рівень механізації, середній вік робітників, енергоозброєність) існує мультиколінеарність.

Для визначення критеріїв необхідно знайти матрицю похибок , яка є оберненою до матриці R:

Безпосередньо критерій обчислюється за формулою:

де – діагональні елементи матриці С;

Обчислені критерії порівнюються з табличним значенням при п’ятивідсотковому рівні значимості і ступенях свободи і , що складає .

У розглядуваному випадку , , . Це означає, що перша і третя змінні мультиколінеарні з іншими.

Розрахуємо часткові коефіцієнти кореляції, які характеризують щільність зв’язку між двома змінними за умови, що інші змінні не впливають на цей зв’язок (існування парної мультиколінеарності):

де – елементи матриці С, що розміщені в k-ому рядку та j-му стовпці;

і – діагональні елементи матриці С.

Отже, спираючись на здобуті нами значення окремих (часткових) коефіцієнтів кореляції, можна сказати, що зв’язок між рівнем механізації та середнім віком робітників є помірним, якщо не враховувати вплив енергоозброєності, зв’язок між рівнем механізації та енергоозброєністю є досить високим, якщо не брати до уваги вплив середнього віку робітників. Зв’язок між середнім віком робітників та енергоозброєністю є середнім, якщо не враховувати рівень механізації.

Визначимо критерій.

Ці критерії застосовуються для визначення мультиколінеарності двох пояснюючих змінних і обчислюються за формулою:

.

,

,

.

Обчислені критерії порівнюються з табличним значенням при рівні значимості та числі ступенів свободи .

Оскільки , то рівень механізації та середній вік робітників не є мультиколінеарними між собою;

, тому відповідно рівень механізації та енергоозброєність є мультиколінеарними між собою;

, тому середній вік робітників та енергоозброєність не є мультиколінеарними між собою.

Висновок. Дослідження, проведені за алгоритмом Фаррара-Глобера показали, що мультиколінеарність між пояснюючими змінними даного прикладу існує. Отже, для того, щоб можна було застосувати метод 1МНК для оцінювання параметрів моделі за цією інформацію, необхідно в першу чергу звільнитися від мультиколінеарності. Приймаємо рішення про виключення фактору Х₃ з подальших досліджень.