Лабораторная работа № 8
ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Цель работы: изучение электрических затухающих колебаний в колебательном контуре, измерение периода, логарифмического декремента затухания, коэффициента затухания, добротности и индуктивности контура.
Приборы и принадлежности: генератор звуковой частоты, осциллограф, катушка, конденсаторы и резисторы на модуле МОЗ. Набор стержней -сердечников катушки.
Введение
Замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора С, соединенного последовательно с катушкой индуктивности L, называется колебательным контуром. Реальный колебательный контур обладает электрическим сопротивлением, которое на схеме обозначено в виде резистора R.
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из колебательного контура
С, L, R и источника постоянного тока, ЭДС которого (рис. 1).
Рис.
1.
, (1)
где i - ток в цепи, и - напряжение на конденсаторе, с - ЭДС самоиндукции катушки.
Подставим в уравнение (1) ЭДС самоиндукции
-2-
. (2)
В этом выражении несколько неизвестных переменных величин: i, u, di/dt. Выразим их через одну переменную, например, через напряжение на конденсаторе и, учитывая, что
, , .
Тогда уравнение (2) примет вид
, (3)
или
. (4)
Заменим , , и перепишем уравнение (4)
, (5)
где - коэффициент затухания, о - циклическая частота незатухающих колебаний в колебательном контуре.
Уравнение (5) является дифференциальным уравнением второго порядка, решая которое можно получить зависимость напряжения на конденсаторе и от времени t.
Сначала рассмотрим случай, когда сопротивление контура R = 0. Уравнение (5) в этом случае будет выглядеть так:
. (6)
Его решением будет гармоническая функция
. (7)
При t = 0 (момент переключения переключателя П из положения 1 в положение 2, рис. 1 ) напряжение на конденсаторе максимально и = Um и ток в контуре равен нулю, i = 0. При этих начальных условиях начальная фаза = 0 и уравнение (7) приобретает вид
.. (8)
Здесь 0- собственная частота колебательного контура, которая определяется его параметрами L и С
. (9)
-3-
Следует отметить, что наряду с колебаниями напряжения и на конденсаторе будут изменяться с той же частотой в контуре и другие физические величины: заряд на пластинах и напряженность электрического поля в конденсаторе, ток в контуре и магнитная индукция в катушке.
Если активное сопротивление контура R не велико, так что 2 << 20, то уравнение (5) имеет следующее решение:
, (10)
где Umo - напряжение на конденсаторе в начальный момент времени t = 0. В этот момент и = Umo, следовательно, начальная фаза колебаний = 0.
Частота затухающих колебаний зависит от параметров колебательного контура L и С, так как о зависит от них, а также от коэффициента затухания
. (11)
За период колебаний в этом случае можно принять величину
Рис.2
. (12)
Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания и периодом колебаний Т следующим образом:
. (13)
При слабом затухании 0 период можно считать равным ,
; . (14)
Для характеристики колебательных свойств системы применяется величина Q, называемая добротностью контура, которая также связана с длительностью процесса затухания колебаний. Она определяется так:
-4-
. (15)
Добротность обладает простым физическим смыслом. Амплитуда напряжения на конденсаторе убывает со временем по закону е-T. Энергия заряженного конденсатора пропорциональна квадрату амплитуды напряжения, т. е. энергия уменьшается как е-2T. Относительное уменьшение энергии за один период колебаний будет таким:
.
При небольшом затухании логарифмический декремент затухания < 1,
поэтому , откуда
Подставив это выражение в формулу (15), получим
(16)
Таким образом, добротность колебательного контура Q пропорциональна отношению энергии, содержащейся в контуре, к потерям энергии W за время одного колебания (за период).
Рассмотрим случай сильного затухания, когда = 0 . Согласно формуле (11) колебания в таких условиях становятся невозможными, так как = 0, напряжение на конденсаторе уменьшается со временем апериодически
. (17)
Такой процесс имеет место в том случае, если активное сопротивление контура достигает критической величины (или превышает ее). Значение критического сопротивления можно найти из условия 2 = 2 .
, . (18)
Следует иметь в виду, что величина критического сопротивления определяется не только активным сопротивлением контура, но и другими потерями в контуре - рассеянием электромагнитного поля, потерями в диэлектрика конденсатора, потерями на перемагничивание магнетика и токами Фуко если магнитное поле катушки пронизывает соответствующие предметы, находящиеся внутри или вблизи колебательного контура.