Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку

1. Постановка крайової задачі.

Рівняння коливання струни, стержня, мембрани, а також гідродинаміки і акустики, в загальному вигляді має вид

.

Як і в випадку звичайних рівнянь, воно має безкінечне число розв’язків. Тому, у випадку реального фізичного процесу, для єдиності розв’язку, що характеризує процес, необхідні додаткові умови. Ці умови складаються з граничних і початкових умов.

Розглянемо ситуацію на прикладі коливання струни. Так процес коливання струни залежить від її початкової форми і розподілу швидкостей, тобто початкові умови слід задавати у вигляді:

Що до граничних умов, то можна говорити про три основні типи:

1. гранична умова першого роду (задано режим);

2. гранична умова другого роду (задано силу);

3. гранична умова третього роду (пружне закріплення).

Аналогічно задається гранична умова і на другому кінці .

Комбінуючи різні граничні умови ми отримаємо 6 типів крайових задач.

Сформулюємо першу крайову задачу для гіперболічних рівнянь:

Знайти , визначену в області , , що задовольняє рівняння

для , ;

граничним умовам:

;

і початковим умовам:

, .

Якщо на обох кінцях береться гранична умова другого або третього роду, то відповідна задача називається другою або третьою крайовою задачею. У випадку коли граничні умови при х=0 і х= мають різні типи, крайова задача називається мішаною.

При умові, що вплив граничних умов в точці , розміщеної достатньо далеко від кінців, буде мати місце через великий проміжок часу, а ми розглядаємо явище в продовж малого проміжку, то задачу можна розглядати як граничну задачу лише з початковими умовами.

Знайти розв’язок рівняння з початковими умовами

.

Цю задачу називають задачею Коши.

Якщо явище розглядається поблизу однієї границі і вплив граничної умови на другій границі не сутьтево то ми приходимо до задачі на напівпрямій , коли треба знайти розв’язок рівняння задовольняючого умовам

.

Нарешті, коли характер явища, для моментів часу, достатньо віддалених від початкового моменту , визначається граничними умовами, (так як вплив начальних умов, завдяки тертю, слабшає) то такі ситуації приводять до задачі без початкових умов, тобто:

знайти розв’язок для і при граничних умовах

.

2. Теорема єдиності розв’язку.

При розв’язанні крайових задач:

1. треба переконатись в єдиності розв’язання – це досягається доведенням теореми єдиності;

2. треба переконатись в існуванні розв’язку, що зазвичай зв’язано з методом знаходження розв’язків.

Розглянемо теорему єдиності.

Теорема. Можливе існування тільки однієї функції визначеної на області , що задовільняє рівнянню

,

початковим і граничним умовам

,

якщо виконуються наступні умови:

1. функція та похідні, що входять в рівняння, а також похідна неперервні на проміжку при ;

2. і - неперервні на проміжку .

Доведення. Припустимо що існує два розв’язка і , тоді задовольняє однорідному рівнянню

,

однорідним умовам

та умовоі 1 теореми.

Покажемо, що . Розглянемо функцію

(повна енергія струни в момент часу t ).

Інтегруючи частинами перший доданок правої частини, отримаємо

.

Враховуючи граничні і початкові умови на отримаємо

(оскільки задовольняє однорідному рівнянню), тобто .

Враховуючи початкові умови отримаємо

, так як .

Користуючись додатністю і заключаємо що і звідки і витікає тотожність , але , тобто .

Таким чином .

Зауваження. Доведення теореми єдиності другої і третьої крайових задач практично не відрізняється від приведеного, що стосується теореми єдиності для задачі Коши і задач без початкових умов то доведення їх можна знайти к книзі [5].