Системы линейных уравнений. Матрицы и определители

Для матриц большего размера этот метод требует слишком больших усилий. Метод Гаусса гораздо эффективнее.

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице

Решение. Запишем составную матрицу (A|E) и пребразуем ее с помощью элементарных

Матрица коэффициентов при y1; y2; y3 есть A−1. Результат совпадает с выписанным выше, разумеется.

Свойства операции обращения матриц. Отображение A 7→A−1 называется операцией обращения. Она имеет следующие свойства:

1)(A−1)−1 = A;

2)(AT )−1 = (A−1)T ;

3)(AB)−1 = B−1A−1.

Проверим для примера последнее свойство:

(AB)(AB)−1 = (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AEA−1 = AA−1 = E:

Здесь учтены свойство 3, ассоциативность умножения матриц и определение обратной матрицы.

21

5 Ранг матрицы

Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк этой матрицы.

Введем обозначение для i-ой строки матрицы A:

Li = (ai1; ai2; : : : ; ain):

Напомним понятия линейной зависимости и линейной независимости, рассмотренные в §4.2. Составим уравнение

лежащее в основе определений. Если уравнение (5.1) может выполняться только при x1 = x2 = · · · = xr = 0, то строки L1; L2; : : : ; Lr называются линейно независимыми, в противном случае, когда некоторые из xi могут быть не равными нулю, – строки линейно зависимыми.

Теорема 1. Пусть строки L1; L2; : : : ; Lr линейно независимы, тогда пребразование строк

с невырожденной матрицей S (det S ≠ 0) приводит к линейно независимой системе из

заключаем, что строка x нулевая, так как det S ≠ 0. Таким образом, мы нашли, что из уравнения L′1x1 +L′2x2 +· · ·+L′rxr = 0 следует xi = 0; i. Следовательно, строки L′i линейно независимы, что и требовалось.

Заметим, что исходную матрицу A можно рассматривать как столбец из ее строк, а формула (5.2) показывает, что операции над строками матрицы A – сложение, умножение на число и образование линейных комбинаций, – сводятся к умножению этой матрицы

22

Отсюда нетрудно получить матрицы всех элементарных операций над строками. Например, диагональной матрице S соответствует умножение всех строк на числа. Если в диагональной матрице S все элементы, кроме i-го, равны 1, то этой матрице соответствует умножению i-ой строки на число. Если в матрице S главная диагональ состоит из единиц, а остальные элементы, кроме c21 равны нулю, то этой матрице соответствует прибавление ко второй строке первой строки, умноженной на число c21. Если матрица S имеет следующую блочную структуру

а E – единичная матрица порядка m − 2, то умножение матрицы A слева на матрицу S приводит к перестановке первой и второй строк матрицы A. Нетрудно проверить, что определители всех матриц элементарных операций отличны от нуля.

Учитывая все изложенное, заключаем, что элементарные операции над независимыми строками матрицы не меняют ее ранга. Можно доказать большее: элементарные операции над всеми строками матрицы не меняют ее ранга.

Рассмотрение квадратных матриц приводит к следующему урверждению: определитель матрицы равен нулю в том и только том случае, когда строки этой матрицы линейно зависимы. Неизменность определителя при транспонировании позволяет утверждать, что определитель матрицы равен нулю в том и только том случае, когда столбцы этой матрицы линейно зависимы. А отсюда ясно, что строки квадратной матрицы линейно зависимы в том и только том случае, когда линейно зависимы ее столбцы.

Все это приводит к эквивалентному определению ранга матрицы: рангом матрицы называется порядок наибольшего минора, отличного от нуля.

Для практики самым важным является следующее утверждение: элементарные операции над строками и столбцами матрицы не меняют ее ранга. Оно позволяет вычислять ранг матрицы при помощи модифицированного алгоритма Гаусса. Суть метода в следующем: матрица приводится элементарными преобразованиями строк и столбцов к единичной матрице; число единиц на главной диагонали равно рангу матрицы.

Решение. Первый шаг выполняем по методу Гаусса, а затем, путем прибавления первого столбца к последующим столбцам, уничтожаем элементы первой строки, начиная со второго элемента:

Далее вычеркнем вторую строку, которая пропорциональна третьей строке, и нулевой четвертый столбец. Затем прибавим ко второму столбцу третий столбец:

23

На этом вычисления можно прекратить, так как мы получили квадратную матрицу 3-го порядка с ненулевым определителем. Ответ: ранг матрицы A равен 3.

Список литературы

[1]Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3, часть 1. М., Наука, 1974.

[2]Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М., Наука, 1984.

[3]Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., Наука, 1970.

[4]Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. М., Финансы и статистика, 2003.

[5]Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей математике. 1 курс.

М., Айрис Пресс, 2007.

24