Системы линейных уравнений. Матрицы и определители

Как видно из (3.3), определитель ∆1 получается из определителя ∆ путем замены первого стобца на столбец свободных членов; аналогично определитель ∆2 получается из определителя ∆ путем замены второго стобца на столбец свободных членов. Формулы (3.4) называются формулами Крамера.

Возьмем теперь три уравнения с тремя неизвестными:

Решая их относительно неизвестных x1 и x2 по формулам (3.2), будем иметь:

Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы, получим уравнение для определения неизвестной x3 и, наконец, решая это уравнение, будем иметь окончательное выражение для этой неизвестной:

Выражения для x1 и x2 можно получить из предыдущих формул, подставив в них x3. Ясно однако, что формулы для x1 и x2 будут иметь вид, аналогичный (3.6), так как неизвестные входят в систему равноправно, отличаясь лишь номерами.

Если, по аналогии со случаем системы из двух уравнений, мы обозначим знаменатель через ∆, и назовем его определителем основной матрицы системы, то следует написать

заменой коэффициентов ai3 при x3 свободными членами bi. Поэтому, обозначив числитель через ∆3, мы должны записать его в виде формулы

которая получается из формулы для ∆ заменой элементов третьего столбца ai3 на bi; i = 1; 2; 3. С другой стороны мы можем представить числитель дроби (3.6) в следующем виде:

11

согласно правилу вычисления определителя второго порядка. Определители второго по-

Минором всякого элемента определителя ∆ называется определитель, полученный из ∆ вычеркиванием строки и столбца, на пересечении, которых расположен данный элемент.

Формула (3.9) дает, на самом деле, правило вичисления определителя третьего порядка через определители второго порядка. Миноры входят в эту формулу с разными знаками, поэтому вводится понятие алгебраического дополнения. Обозначим минор элемента aij как Mij , и алгебраическое дополнение – как Aij , тогда

То есть, алгебраическое дополнение элемента aij равно минору этого элемента, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент aij , – число четное. Если сумма i + j – число нечетное, то алгебраическое дополнение равно минору с обратным знаком.

Возвращаясь к системе (3.5), можем записать теперь ее решение в компактной форме xi = ∆∆i ; i = 1; 2; 3;

где ∆ – определитель основной матрицы системы, ∆i – определитель полученный из ∆ заменой i-го столбца на столбец свободных членов. Точно так же записывается решение системы из n уравнений с n неизвестными при условии ∆ ≠ 0. Эти формулы называются

формулами Крамера.

Отметим, что вычисление определителя n-го порядка требует выполнения около n · n! арифметических операций. Поэтому решение линейной систеты из n уравнений требует примерно N1 = n(n + 1)! операций. Решение этой же задачи по методу Гаусса требует приблизительно N2 = n3 операций. Так как

N1 ≈ (n − 1)!;

N2

то число операций метода Крамера превосходит число операций метода Гаусса в два раза при n = 3, в шесть раз при n = 4, в двадцать четыре раза при n = 5 и т. д. Тем не менее формулы Крамера бывают полезны при выводе некоторых формул.

Вычисление определителей

1. Определители 2-го порядка.

которая обсуждалась выше. Слагаемые в этой формуле можно изобразить графически

12

Здесь каждый рисунок соответствует слагаемому в выражении для определителя, линии соединяют элементы определителя, которые перемножаются. Знак «+» обозначает слагаемые, которые входят со своими знаками, а знак «–» – слагаемые, которые входят с противоположными знаками. Это графическое правило называется правилом треугольников.

3. Для определителей более высоких порядков правил, подобных правилу треугольников не существует, их вычисляют путем разложения по элементам какого-нибудь столбца, или – какой-нибудь строки. Например, разложим определитель по элементам первой стро-

При написании таких разложений достаточно определить знак первого члена по формуле (3.10), а затем знаки чередуются. Полученные таким путем определители третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников, или продолжить разложение на определители второго порядка.

Можно записать и общие формулы:

Первая из формул – это разложение определителя по элементам i-ой строки, вторая – разложение определителя по элементам j-го столбца, Aij – алгебраическое дополнение к элементу aij . Первое слагаемое в первой сумме получается при j = 1, второе – при j = 2 и т. д., а индекс i зафиксирован. Во второй сумме индекс j зафиксирован, а суммирование ведется по i.

Свойства определителей

1.Если в определителе заменить строки на стобцы (эта операция назыается транспонированием определителя), то определитель не изменится.

2.Если у определителя какая-либо строка состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

13

3.Если какие-либо две строки определителя пропорциональны или совпадают, то определитель равен нулю (умножение строки на число производится по правилу: k(a; b) = (ka; kb)).

4.Если какую-либо строку определителя умножить на некоторое число, то определитель умножится на это число.

5.Если две любые строки определителя поменять местами, то определитель изменит знак.

6.Если к какой-либо строке определителя прибавить другую строку, умноженную на произвольное число, то определитель не изменится (строки складываются поэлементно, например: (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)).

7.Если все элементы i-ой строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых

aij = bij + cij ; j = 1; 2; : : : ; n;

то определитель равен сумме двух определителей:

∆(a) = ∆(b) + ∆(c):

Здесь ∆(a) – исходный определитель, ∆(b) – определитель, в котором i-я строка состоит из элементов bij , ∆(c) – определитель, в котором i-я строка состоит из элементов cij .

8.Если одна из строк определителя является линейной комбинацией других его строк, то определитель равен нулю.

Линейной комбинацией строк называется сумма этих строк, умноженных на некоторые числа.

Замечания. 1. В силу свойства 1 все прочие свойства определителя относительно операций со строками будут справедливы для тех же операций со столбцами.

2. Операция транспонирования матрицы обозначается символом T : AT есть транспонированая матрица A. Используя это обозначение можно записать свойство 6 кратко:

det AT = det A:

3.Вследствие свойства 4 общий множитель строки можно выносить за знак определи-

теля.

4.Свойства 6 и 8 вытекают из свойств 7 и 3.

Решение. Используя свойство 5, предварительно упростим определитель, прибавив к первой строке вторую, умноженную на 2. Затем прибавим к третьей строке вторую, умноженную на –3:

14

Здесь мы разложили определитель 4-го порядка по первому столбцу, а затем внесли –1 под знак определителя, умножив вторую строку на –1. Далее применим правило треугольников:

∆ = −5 − 4 · 8 · 2 − 2 · 4 · 6 + 2 · 6 + 2 · 4 + 4 · 8 · 5 = 63:

Решение. Используя свойство 5, прибавим ко второму столбцу первый, и учитывая тождество sin2 x + cos2 x = 1, получаем

sin2 ∆ = sin2sin2

согласно свойству 2.

4Операции над матрицами

4.1Первоначальные сведения

Матрицу из m строк и n столбцов кратко записывают в виде A = (aij ); i = 1; 2; : : : ; m; j = 1; 2; : : : ; n. Если m и n произвольны или ясны из контекста, то можно писать еще короче:

A = (aij ).

Две матрицы одинакового размера m × n считают равными, если попарно равны их соответствующие элементы, т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах в этих матрицах.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется кадратной, в противном случае – прямоугольной.

Матрицу, состоящую из одной строки или одного столбца называют строкой или столбцом соответственно. Матрица состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрицу, состоящую из нулей называют нулевой и обозначают символом 0 (нуль). В квадратной матрице совокупность элементов на линии, соединяющей верхний левый угол с правым нижним называется главной диагональю. У элементов главной диагонали индексы совпадают.

Квадратные матрицы, содержащие только нули вне главной диагонали, называют диагональными. Диагональная матрица с единицами на главной диагонали называется единичной матрицей, она обычно обозначается буквой E. Элементы единичной матририцы обозначают (по историческим причинам) не eij , а ij :

{

Символ ij называется символом Кр´онекера.

Квадратная матрица, имеющая только нули ниже главной диагонали, называется верхней треугольной, а матрица, имеющая только нули выше главной диагонали, называется нижней треугольной.

15

4.2Сложение матриц и умножение на числа

Произведение матрицы A = (aij ) на число – это матрица с элементами ( aij ). То есть, умножение матрицы на число сводится к умножению всех элементов матрицы на это

Заметим, что если A – матрица размера n × n, то det( A) = nA. Действительно, каждая из n строк определителя | aij | имеет общий множитель . Вынося все эти множители за знак определителя, толучаем требуемую формулу.

Пусть имеем две матрицы одинакового размера A = (aij ); B = (bij ). Матрица C с элементами cij = aij + bij называется суммой матриц A и B и записывается в виде C = A+B. То есть, сложение двух матриц сводится к сложению их элементов, расположенных

Вычитание матриц производится аналогично. Однако вычитание сводится к сложению с предварительным умножением одной из матриц на –1: A − B = A + (−1)B. Поэтому не требуется вводить определение для вычитания.

Пусть имеем набор матриц одинакового размера A1; A2; : : : ; Ak. Следующее выражение

где i; i = 1; 2; : : : ; k – некоторые числа, называется линейной комбинацией матриц A1; A2; : : : ; Ak. Числа i называются коэффициентами линейной комбинации.

Если можно подобрать такие коэффициенты i не все равнные нулю, чтобы линейная комбинация (4.2) обратилась в нуль, то матрицы A1; A2; : : : ; Ak называются линейно зависимыми. Если же линейная комбинация (4.2) может равняться нулю только при нулевых i, то матрицы A1; A2; : : : ; Ak называются линейно независимыми.

Если матрицы A1; A2; : : : ; Ak линейно зависимыми, то среди i есть ненулевые числа, поэтому одну из матриц можно выразить через остальные как линейную функцию. В этом состоит смысл термина «линейная зависимость».

Понятие линейной комбинации и линейной зависимости или независимости часто при-

Далее умножаем столбцы в левой части на числа xi, и складываем их:

(x1 + x2; −x1 − x2; 2x1 + x2; x1 + 2x2)T = (1; −1; 4; −1)T :

16

Приравняв соответствующие элементы двух столбцов, получаем

x1 + x2 = 1; −x1 − x2 = −1; 2x1 + x2 = 4; x1 + 2x2 = −1:

Прибавив второе уравнение к третьему и четвертому, находим x1 = 3; x2 = −2. Легко проверить, что эти значения неизвестных удовлетворяют всем уравнениям, следовательно, стобец b выражается через a1 и a2: b = 3a1 − 2a2.

4.3Умножение матриц

Опреция умножения матриц возникает при рассмотрении линейных замен нескольких переменных. В общем случае число новых переменных yi; i = 1; 2; : : : ; m может не совпадать с числом старых переменных xi; i = 1; 2; : : : ; n, поэтому формулы замены переменных

имеют вид

n

Это и есть формула умножения матриц. Обозначим A = (aki); B = (bij ); C = (ckj ), тогда в матричной форме имеем

Здесь первый сомножитель A имеет размер r × m, второй сомножитель B имеет размер m × n, а матрица-произведение C имеет размер r × n. Вспоминая, что первый индекс элементов нумерует строки матрицы, а второй – столбцы, заключаем, что умножение матриц A; B возможно только при условии, что число столцов у первого сомножителя равно числу строк у второго сомножителя. Рассмотрим важные частные случаи.

1. Если в формуле (4.6) n = 1, то матрицы B и C имеют только по одному столбцу. В этом случае значение j = 1 в обозначении элементов не пишется, и мы получаем формулу умножения матрицы A на столбец B:

Матричная записть остается прежней – (4.7), но теперь B и C – столбцы. Заметим, что столбец может умножаться на матрицу только справа.

17

Сравнивая формулы (2.1) и (4.8), видим, что всякую систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

где A основная матрица системы, x – столбец неизвестных, b столбец свободных членов. 2. Если в формуле (4.6) r = 1, то матрицы A и C имеют только по одной строке. В этом случае значение k = 1 в обозначении элементов не пишется, и мы получаем формулу

умножения строки A на матрицу B:

∑m

Матричная записть (4.7) остается прежней, но теперь C и A – строки. Строка может умножаться на матрицу только слева.

3. Если в формуле (4.10) n = 1, то матрица B будет состоять из одного столбца, а C = c

Нетрудно заметить, что сумма в правой части (4.12) (записанная в соответствии с (4.11)) образуется по тому же правилу, по которому записывается скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве: ab = a1b1 + a2b2 + a3b3. Поэтому мы будем говорить, что умножение столбца B на матрицу A (см. (4.8)) производится так: столбец B умножается скалярно поочередно на каждую из строк матрицы A, а получающиеся числа располагаются на тех местах, где находились строки матрицы. Например:

Умножение строки A на матрицу B (см. (4.10)) сводится к поочередному умножению столбцов матрицы на строку. Эти скалярные произведения записываются в виде строки. Например:

Теперь можем сформулировать словесное правило умножения двух матриц. Умножив первый столбец правого сомножителя на матрицу, стоящую слева, получаем первый столбец матрицы-результата. Затем, умножив второй столбец правого сомножителя на матрицу, стоящую слева, получаем второй столбец матрицы-результата и т.д. Например:

18

Для любой матрицы A справедливы равенства AE1 = A; E2A = A, где E1 и E2 – единичные матрицы подходящего размера.

На практике чаще встречаются квадратные матрицы. В этом случае оба произведения AB и BA определены. Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановоч-

В этом примере мы имеем AB = −BA. Такие матрицы называются антиперестановочными или антикоммутирующими.

Свойства матричного умножения. Непосредственно из определения вытекают следующие свойства:

1)(AB) = A( B) = ( A)B;

2)C(A + B) = CA + CB;

3)(A + B)C = AC + BC;

4)A(BC) = (AB)C;

5)(AB)T = BT AT ;

6)det(AB) = det A det B.

Здесь подразумевается, что все записанные произведения определены. Свойства 2 и 3 называются законами дистрибутивности. Свойство 3 выражает свойство ассоциативности матричного умножения. Свойство 6, называемое теоремой об умножении определителей, относится только к квадратным матрицам. По поводу свойства 5 заметим, что транспонирование матрицы сводится к замене каждого элемента aij на элемент aji. Учитывая это замечание, запишем формулу (4.6):

Это равносильно CT = (AB)T = BT AT , что и требовалось.

4.4Обращение матриц

Пусть дана квадратная матрица A n-го порядка. Квадратная матрица A−1 того же порядка называется обратной к матрице A, если

где E – единичная матрица n-го порядка.

Замечание. A−1 – это просто обозначение, а не единица деленная на матрицу A.

19

Обозначим через En единичную матрицу n-го порядка. При помощи разложения определителя det En по элементам первой строки получаем det En = det En−1 = · · · = det E2 = 1. С учетом этого результата и теоремы об умножении определителей из (4.13) следует det(AA−1) = det A det A−1 = 1. Это означает, что обратная матрица существует только для матриц с ненулевым определителем (такие матрицы называются невырожденными).

где Aji – алгебраическое дополнение к элементу aji в определителе |A|. Запишем это более подробно

Приведенные формулы без труда проверяются. Действительно, согласно формуле (4.6)

При j = i отсюда получаем тождество

1

|A|(ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin) = 1;

поскольку в скобках написано разложение определителя |A| по i-ой строке. При j ≠ i

∑

сумма aisAjs сворачивается в определитель |A|, в котором j-я строка заменена на i-ю, поэтому этот определитель имеет две одинковых строки и равен нулю. Таким образом, равенство (4.16) при j ≠ i также выполнено, что и требовалось.

Знание обратной матрицы позволяет, в частности легко найти решение системы линейных уравнений Ax = b. Умножив это равенство слева на A−1, получаем решение системы x = A−1b. В подробной записи имеем

Последняя сумма представляет собой разложение по элементам i-го столбца определителя ∆i, полученного из ∆ = |A| заменой i-го столбца на столбец свободных членов. Таким образом, получены формулы Крамера в наиболее общей форме

xi = ∆∆i ; i = 1; 2; : : : ; n:

Формулы (4.14) и (4.15) полезны для обращения матриц 2-го порядка:

20