9

Лекція № 4

Робота електростатичного поля над зарядом. Різниця потенціалів і потенціал

1. Робота поля над зарядом. 2. Потенціальна енергія заряду. Потенціал. Різниця потенціалів. 3. Потенціальна енергія системи зарядів. 4. Власна енергія зарядів. 5. Еквіпотенціальні поверхні. Зв’язок напруженості поля та потенціалу.

1. Робота поля над зарядом.

Потенціал і різниця потенціалів (напруга) – ці поняття широко вживаються в електриці, радіо та електротехніці.

Оскільки згідно суперпозиції будь-яке електростатичне поле є сумою електростатичних полів точкових зарядів, то розглянемо поняття потенціалу і різниці потенціалів для точкового заряду.

“Потенціал”, та його “різниця” використовується при вивченні переміщенню заряду під дією поля. У цьому випадку поле виконує певну роботу над зарядом.

О бчислимо цю роботу, у випадку, коли пробний заряд +q рухається під дією, створеного зарядом +Q.

Спростимо задачу припустивши, що

1. Взаємодія відбувається у вакуумі для Ɛ=1.

2. Можна знехтувати гравітаційною взаємодією великої кулі М, та пробного заряду з масою m.

3. Джерело поля Q нерухоме.

4. Можна знехтувати випромінюванням електромагнітних хвиль зарядом q під час його прискоренного руху (тобто прискорення – мале).

Якщо у момент часу t=0 заряд був нерухомий у т.1, то далі він почне рухатись із прискоренням у т.2, рухаючись і набираючи енергії W_к. Набута кінетична енергія W_к2 дорівнюватиме роботі поля А₁₂ на шляху від т.1 до т. 2:

.

Вимірюючи експериментально швидкість пробного заряду у т.2, можна обчислити W_к2= і знайти А₁₂.

З ішого боку роботу А₁₂ можна обчислити за формулою .

На відстані r від джерела поля на пробний заряд діє сила

. (1)

При переміщенні частинки полем на відстань dr виконується робота

(2)

Повну роботу на відстані від r₁ до r₂ знайдемо так

(3)

Формула (3) знайдена для руху кульки q вздовж найкоротшого шляху із т.1 до т.2. Але ця формула справедлива для будь-якого переміщення заряду Q із т.1 в т. 2 будь-яким шляхом.

Інакше кажучи, робота електростатичного поля над зарядом не залежить від форми і довжини шляху, а виражається лише характеристиками поля у початковій та кінцевих точках і модулем заряду. Це можна довести так.

Нехай поле на шляху 12 виконало максимальну роботу. Повернемо заряд(+Q) із т.2 в т.1 по іншому шляху, виконуючи проти сил поля меншу ніж в попередньому випадку роботу. Знову надамо полю можливість рухати q у т.2 прямолінійно (за припущенням тут виконується max робота). В цьому випадку в т.2 будемо мати надлишок енергії, тобто вічний двигун. Енергія з’являється з нічого, бо ні заряд, ні поле не змінюється. Це неможливо, отже робота поля по переміщенню q із 12 тотожна роботі проти поля із 21 іншим шляхом.

2. Потенціальна енергія заряду. Потенціал. Різниця потенціалів.

Із закону збереження енергії випливає, що кінетична енергія пробного заряду у т.2 дорівнює зміні його потенціальної енергії у електростатичному полі, тобто роботі поля над ним

(4)

Підставимо в (4) формулу (3)

. (5)

Припустимо, що r₂=, тобто заряд перемістився у .

В цьому випадку , тобто формула (5) набуде вигляду

. (6)

Таким чином потенціальна енергія заряду q в т. r₁ може бути визначена тільки шляхом порівняння з іншою точкою r₂. Якщо прийняти, що при r₂= , потенціальна енергія набуває вигляду . Визначення точки порівняння називається калібруванням потенціального поля.

І з формули (6)виходить, що W_п0 якщо q і Q одного знаку, і W_п0, якщо заряди протилежні. Зобразимо це графічно.

Оскільки стійкому положенню усякої фізичної системи відповідає min W₁₂, то у випадку а) заряд +q намагається віддалитись від +Q, а у випадку б) – наблизитись. І в тому і в іншому випадку заряд +q “скочується” по “потенціальному схилу”, утвореному джерелом електростатичного поля.

З формул (6) можна виділити скалярну функцію

, (7)

яка тісно пов’язана з поняттям потенціальної енергії пробного заряду в електростатичному полі і яка характеризує поле, а не пробний заряд.

- потенціал поля створеного точковим зарядом, (функція, що описує розподіл потенціалу) у просторі навколо точкового заряду джерела поля за умови, що потенціал у точках з , .

Порівнюючи (5) і (6) знайдемо, що

і що ,

тобто - питома потенціальна енергія заряду q в даній т. поля.

За допомогою потенціалу роботу електростатичного поля над зарядом записують так

. (8)

Остання формула виконується: для довільного заряду, що рухається у електростатичному полі . При цьому робота поля не залежить від форми шляху, а залежить від різниці потенціалів, що пройде заряд.

З формули (8), що зв’язує роботу, потенціальну енергію і різницю потенціалів (напруга) випливає означення одиниці потенціалів

.

Одиниця названа в честь італійського вченого А.Вольта, що не тільки виготовив перше джерело постійного струму ( “вольтів стовп”), але і правильно зрозумів силові і енергетичні співвідношення для електростатичного поля.

Розглянемо такі співввідношення:

, , або . (9)

В формулі (9) існує невизначеність, повязана з константою С.

Однозначною характеристикою поля є різниця потенціалів його точок , адже вона не залежить від вибору константи у формулі потенціалу

.

Процес вибору константи С називається «калібруванням» потенціалу. У теорії поля віддається перевага варіанту С=0, бо на , де вже немає поля, зв’язаного з точковим зарядом +Q.

На практиці за вважають поверхню земної кулі, або будь-якого провідника, сполученого з нею дротом. У цьому випадку потенціал поверхні Землі і провідника однаковий, а провідник називається заземлений. У стані рівноваги не відбувається руху зарядів між заземленим провідником і Землею.

П оле ж рухає пробний заряд із точок з вищим потенціалом у точки, де потенціал нижчий.

Я кщо розглянути рух електрона у електростатичному полі, то

3. Потенціальна енергія системи зарядів.

Оскільки (r) – скалярна функція, то потенціали кількох полів, що утворені системою точкових зарядів, можна складати

,

де r_i – відстань від і – того заряду, до точки вимірювання результуючого потенціалу.

Якщо система створена двома зарядами q₁ і q₂, то потенціальна енергія

буде відносною. Одночасно – це електростатична енергія системи двох зарядів. Запишемо її так:

Штрих в значку означає, що у сумі відсутні члени з і = к. Одержану формулу з подвійною сумою можна поширити на довільну систему з N точкових зарядів q_і та q_k з відстанню r_ik між ними.

Отже потенціальна енергія N точкових зарядів буде

.

Через потенціал

.