Атомная (прикладная) физика
.pdfvk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
•То, что при малых длинах волн (больших /T ) формула Планка
|
( ,T ) = |
C 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||
|
|
exp |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переходит в формулу Вина |
|
( ,T ) = C 3 exp |
|
− |
|
|
|
|
|
|
T |
достаточно очевидна -- единица в знаменателе становится малой в сравнении с экспонентой.
9
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
При больших длинах волн (малых /T ) экспоненту в знаменателе формулы Планка
можно разложить в ряд, ограничившись первым членом.
exp(x) 1+x (при х<<1). Получим:
При должном выборе постоянных это соответствует формуле Рэлея-Джинса:
(кстати, это частично помогает в определении постоянных).
|
( ,T ) = |
C 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||
|
|
exp |
T |
|
|
|
|
|
|
|
( ,T ) C 2T
|
= kT |
8 2 |
|
||
|
|
c3 |
|
|
10
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|
|
|
• Очевидно, что формула Планка |
( ,T ) = |
C 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||
|
|
exp |
T |
|
|
|
|
|
|
|
соответствует закону смещения Вина в общей форме
( , T) = 3 f ( /T)
Поскольку закон смещения Вина следует из термодинамического рассмотрения, он и должен выполняться.
Но:
Хотя справедливость формулы Планка не вызывала сомнений, у нее не было никакой физической интерпретации.
Поначалу она была лишь результатом «подгонки» под экспериментальные
данные (что говорит о ключевой роли качественно проведенного эксперимента).
Физическую интерпретацию вскоре предложил сам Планк.
И она во многом изменила физику – не потому, что этого кто-либо хотел.
11
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
3.5. Физическое обоснование формулы Планка. Кванты энергии. Постоянная Планка
Итак, было установлено, что эмпирически полученная формула Планка для спектральной плотности равновесного теплового излучения
|
( ,T ) = |
C 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||
|
|
exp |
T |
|
|
|
|
|
|
|
• хорошо описывает экспериментальные кривые спектральной плотности;
• удовлетворяет требованиям закона смещения Вина в общей форме (может быть представлена в виде ( , T) = 3 f ( /T) ) и потому согласуется с экспериментально подтвержденными законом Стефана-Больцмана (e= T4)
и законом смещения Вина в частной форме ( maxT=b);
• в пределе высоких частот формула Планка асимптотически приближается к
закону излучения Вина |
( ,T ) = C 3 exp |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
T |
• а в пределе низких частот – к формуле Рэлея-Джинса |
|
= kT |
8 |
2 |
|
|
|
|
c3 |
|
|
|
1 |
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
•Асимптотическое согласие с формулой Рэлея-Джинса особенно ценно, поскольку эта формула (при всех своих недостатках) была получена в результате достаточно последовательного и корректного рассмотрения весьма общего характера.
•Требовалось определить:
каким образом можно изменить базовые физические положения, использованные при выводе формулы Рэлея-Джинса, чтобы в результате такого же рассмотрения прийти к формуле Планка?
Своего рода, решение обратной задачи.
•Эта задача была решена самим Планком.
2
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
• Прежде всего, Планк перешел от рассмотрения равновесного излучения к рассмотрению излучающих объектов. В качестве простейшего – выбрал систему заряженных гармонических осцилляторов. Показал, что они могут находиться в равновесии с излучением – излучают те же частоты, что и поглощают.
• Далее он показал, что желаемая формула получается, если предположить, что:
(из доклада М. Планка 14 декабря 1900 г.) Иными словами:
осцилляторы каждого вида (с каждой собственной частотой) могут находиться только в состояниях с дискретными (отдельными разрешенными) значениями
энергии 0, , 2 , 3 , … ( >0).
Величину Планк назвал «квантом энергии».
3
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
• При излучении и поглощении энергии осцилляторы переходят из одного из разрешенных дискретных состояний в другое скачком, минуя промежуточные состояния.
• Если осцилляторы находятся в равновесии с излучением, то свойство дискретности энергии относится и к излучению соответствующих частот – ведь энергия излучения передается им от вещества (осцилляторов). Получается, что она передается им только дискретными порциями, а
потому также может принимать лишь дискретные значения, кратные .
•Почему это важно?
Потому, что позволяет «обойти» закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы, приводящий к формуле Рэлея-Джинса.
4
vk• .com/club152685050При выводе формулы| vk.com/id446425943Рэлея-Джинса мы видели, что число степеней свободы, приходящихся на частотный интервал d растет с ростом
(d и пропорциональны dq и q).
•Приняв, что энергии, приходящиеся на все степени свободы, одинаковы, мы
получили неограниченный рост спектральной плотности с частотой.
•Предположение Планка позволяет уменьшить величины энергии, приходящиеся на «высокочастотные» степени свободы, и таким образом ограничить спектральную плотность для высоких частот.
5
vkКоличественное.com/club152685050рассмотрение| vk.com/id446425943:
•В статистической физике величина средней энергии, равная kT, для объекта (осциллятора) со сплошным (недискретным) спектром возможных значений энергии получается усреднением распределения Больцмана. Для него
вероятность обнаружить текущее значение энергии в диапазоне [ ; +d ]
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dw = A exp |
− |
|
|
d |
|
|
||||
|
|
|
kT |
|
A – нормировочный множитель, величина которого задается равенством единице интеграла под кривой (вероятности наблюдения любой энергии).
•Среднее значение энергии (по определению
среднего) равно: |
+ |
|||
|
|
|
dw |
|
|
|
|
0 |
|
|
= |
|||
+ |
||||
|
|
|
||
|
|
|
dw |
|
|
|
|
0 |
(знаменатель определяет
нормировку при любом A) |
7 |