8

Лабораторная работа № 17 - 2. Б – 207.

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ.

Краткая теория.

1. Свободные затухающие колебания в

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ.

Если в электрическом контуре имеется активное сопротивление R, то в нем наблюдаются затухающие колебания, т.е. колебания в которых амплитуды тока, напряжения и заряда со временем уменьшаются. При этом суммарная энергия электрического и магнитного полей постепенно превращается в тепловую энергию, по закону Джоуля-Ленца. Полная энергия контура

W_E + W_B + W_Q = Q²/(2C) + (Q^/)²Rt +(Q^/)².(L/2) = const.

где Q²/(2C) - энергия электростатического поля,

(Q^/)²Rt - джоулева энергия и (Q^/)².(L/2) - энергия магнитного поля. Продифференцируем уравнение полной энергии по t

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt + (dQ/dt)².R + (L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² = 0.

Упростим выражение, приведя подобные величины

(1/C).Q + dQ/dt.R + (L).d²Q/dt² = 0. или

d²Q/dt² + 2(R/2L).dQ/dt + (1/LC).Q = 0,

d²Q/dt² + 2.dQ/dt + ²₀.Q = 0,

где  - 1/LC) собственная частота контура,  - (R/2L) коэффициент затухания. Из решения дифф. уравнения следует, что колебания заряда совершаются по закону:

Q = Q_max.e^-t.cos(t),

с частотой

 = (1/LC - R²/4L²)

меньшей собственной частоты контура ₀. Логарифмический декремент затухания определяется формулой

 = ln[Q(t)/Q(t + T)] = T.

Сила тока в любой момент времени определяется как dQ/dt, а колебания тока совершаются по закону

I = I_max.e^-sin(t) = I_max.e^-t.cos(t + /2).

При увеличении коэффициента затухания  период затухающих колебаний Т растет и при  = ₀ обращается в бесконечность и процесс не будет периодическим.

2. Дифференциальные уравнения

ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Для получения в реальной колебательной системе незатухающих колебаний, возможно только с помощью внешнего источника энергии, подающего эту энергию периодически, чаще всего, по гармоническому закону

W_внеш. = W₀.cos(t).

Тогда уравнение для энергии в колебательном контуре:

W_E + W_B + W_Q = W_внеш.

С учетом выражений для энергий на конденсаторе, сопротивлении и индуктивности, после дифференцирования по времени, получим:

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt + (dQ/dt)².R + (L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² =

= W₀..cos(t).

Упростим выражение, приведя подобные величины с учетом того, что W₀ можно записать, как (U₀.I)/ и получим

(1/C).Q + dQ/dt.R + (L).d²Q/dt² = U₀сos(t) или

d²Q/dt² + 2(R/2L).dQ/dt + (1/LC).Q = (U₀/L).cos(t), и

d²Q/dt² + 2.dQ/dt + ²₀.Q = (U₀/L).cos(t).

Колебания, возникающие под действием внешнего периодически меняющегося напряжения, называются вынужденными. Решение такого дифференциального уравнения находится как СУММА общего решения однородного дифф. уравнения и частного решения неоднородного дифф. уравнения. Частное решение ищем в комплексном виде. Для этого, заменим правую часть нашего уравнения на комплексную величину

(U₀/L).e^i.t =Q₀.e^i.t

d²Q/dt² + 2.dQ/dt + ²₀.Q = (U₀/L).e^i.t. или

d²Q/dt² + 2.dQ/dt + ²₀.Q = Q₀.e^i.t

Частное решение уравнения будем искать в виде

Q = Q₀.e^i.t.

Подставляя это выражение для Q и его производных

dQ/dt = iQ₀.e^i.t и

d²Q/dt² = - ²Q₀.e^i.t

в наше дифференцивльное уравнение, получим:

Q.e^i.t (-² + 2i + ²₀ ) = Q₀.e^i.t.

Такое равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время должно быть из него исключено. Значит, =. С учетом этого, найдем Q₀ и умножив ее числитель и знаменатель на (²₀ - ² - 2i):

Q₀ = (U₀/L)/(²₀ - ² - 2i) =

= (U₀/L).{(²₀ - ² - 2i)/[(²₀ - ²)² + 4²²]}.

Комплексное число удобно записать в экспоненциальной форме

Q₀ = Q_m..e^-i, где

Q_m. = (U_m./L)/[(²₀ - ²) + 4²²], a

 = arctg[(2)/(²₀ - ²)].

И решение уравнения в комплексной форме примет вид

Q = Q_m.e^{i(t - )}.

С учетом

²₀ = 1/(LC) и

 = R/(2L) получим:

Q_m. = U_m./{[R² + (L - 1/C)²]}, и

tg = R/[1/(C) - L].

Продифференцировав Q = Q_m.cos(t - ) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

I = - Q_m.sin(t - ) = I_m.cos(t -  + /2), где

I_m. = Q_m. = U_m./[R² + (L - 1/C)]. или

I = I_m.cos(t -),

где  = ( - /2) — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. Для

tg = tg( - /2) = - 1/tg = (L - 1/C)/R].

Из последнего выражения следует ряд выводов. Если L > 1/C то ток отстает по фазе от напряжения, т.е.  > 0, если же

L < 1/C, то ток опережает напряжение, т.е.  < 0.

Проанализируем зависимость амплитуды заряда Q от частоты  электромагнитных колебаний. При определенном (резонансном) значении частоты  амплитуда заряда достигает максимума. Для нахождения этой частоты находим максимум функции Q, продифференцируем подкоренное выражение по частоте  и приравняем полученное нулю.

- 4(²₀ - ²) + 8² = 0,

Это равенство выполняется при значениях частоты,

 = 0 или +- (²₀ - 2²) ,

у которых, только положительные значения имеют физический смысл. Реальная резонансная частота вынужденных колебаний в контуре отличается от частоты собственной ₀.

_рез. = (²₀ - 2²)