Введение

7

I. Анализ над полем p-адических чисел

19

§ 1. Поле p-адических чисел

19

1. p-адическая норма

19

2. p-адические числа

21

3.

Пространство p-адических чисел Qp

23

4.

Квадратичные расширения поля Qp

27

5.

Полярные координаты и окружности в поле Qp ( ε)

30

6.

Отображение Qp в R

31

7.

Пространство Qpn

34

§ 2. Аналитические функции

35

1.

Степенные ряды

35

2.

Аналитические функции

37

3.

Алгебра аналитических функций

39

4.

Функции ex, ln(l+x) , sin x, cos x

40

5.

Теорема об обратной функции

46

§ 3. Аддитивные и мультипликативные характеры

48

1 Аддитивные характеры поля Qp

48

2.

Мультипликативные характеры поля Qp

52

3.

Мультипликативные характеры поля Qp ( ε)

56

§ 4. Интегрирование

57

1.

Инвариантная мера в поле Qp

57

2.

Замена переменных в интегралах

58

3.

Примеры вычисления интегралов

61

4.

Интегрирование в Qpn

67

§ 5. Гауссовы интегралы

74

1.

Гауссовы интегралы по окружностям Sγ

75

2.

Гауссовы интегралы по кругам Bγ

86

3.

Гауссовы интегралы по Qp

88

4.

Дальнейшие свойства функции λp(a)

89

5.

Пример

94

6.

Исследование функции S(α,q)

99

§ 6. Обобщенные функции

101

1.

Локально постоянные функции

101

2.

Основные функции, n= 1

103

3.

Обобщенные функции, n= 1

106

4.

Линейные операторы в D'

109

5.

Основные и обобщенные -функции, n>1

111

6.

Прямое произведение обобщенных функций

112

7.

Теорема о «ядре»

113

§ 7. Свертка и преобразование Фурье

114

1.

Свертка обобщенных функций

114

2.

Преобразование Фурье основных функций

118

3.

Преобразование Фурье обобщенных функций

126

4.

Пространство L2

129

5.

Умножение обобщенных функций

131

§ 8. Однородные обобщенные функции

134

1.

Однородные обобщенные функции

134

2.

Преобразование Фурье однородных обобщенных функций и Г-

142

функция

151

3.

Свертка однородных обобщенных функций и B-функция

4.

Однородные обобщенные функции многих переменных

155

II. Псевдодифференциальные операторы над полем p-адических чисел

163

§ 9. Оператор Dα

163

1.

Оператор Dα, α ≠ −1

163

2.

Оператор D−1

167

3 Уравнение Dαψ=g

173

4.

Спектр оператора Dα в Q , α > 0

175

p

176

5.

Ортонормированный базис собственных функций оператора Dα

6.

Разложения по собственным функциям

185

§ 10. Операторы типа Шредингера

187

1.

Ограниченные снизу самосопряженные операторы

187

2.

Критерии компактности функций в L2( Qpn )

190

3 Оператор типа Шредингера a*+V

191

4.

Оператор Dα, α>0, в B

195

r

5. Оператор Dα, α>0, в Sr

199

6. Оператор Dα+V(|x| ), α>0, в Q

p

,

( p ≠ 2)

201

p

7. Оператор Dα+V(|x|p), α>0, в L2 (Qp ), p ≠ 2

203

8. Наименьшее собственное значение

205

9. Оператор Dα+V(|x|p), α>0, в Qp ,

( p ≠ 2) (продолжение)

208

10. Пример потенциала V(|x| )=|x|

α, α>0, p ≠ 2

211

p

p

212

11. Оператор Dα+V(|x| ), α>0, вне круга ( p ≠ 2)

p

12. Обоснование метода

217

13. Дальнейшие результаты о спектре оператора Dα+V(|x|p)

220

14. Нестационарное уравнение типа Шредингера

221

III p-адическая квантовая теория

225

§ 11. p- адическая квантовая механика

225

1.

Классическая механика над Qp

226

2.

Представление Вейля

227

3.

Свободная частица

231

4.

Гармонический осциллятор

233

5.

Лагранжев формализм

236

6.

Фейнмановские континуальные интегралы

241

7.

Квантовая механика с p-адичнозначными функциями

245

§ 12. Спектральная теория в p-адической квантовой механике

248

1.

Гармонический анализ

249

2.

Теория операторов

250

3.

Теорема о размерностях инвариантных подпространств

251

4.

Исследование собственных функций

259

5.

Системы Вейля и когерентные состояния

264

6.

Симплектическая группа

273

7.

Исследование собственных функций при p ≡3 (mod 4)

277

§ 13. Системы Вейля. Бесконечномерный случай

286

1.

Алгебры Вейля

287

2.

Положительные функционалы

288

3.

Представление Фока

290

4.

Эквивалентность L-фоковских представлений

295

§ 14. p-адические струны

298

1.

Дуальные амплитуды

298

2. p-адические амплитуды

300

3.

Адельные произведения

304

4.

Струнное действие

306

5.

Пространство модулей и тэта-функции

307

6.

Многопетлевые амплитуды

310

7.

Жесткая аналитическая геометрия и p-адические струны

313

§ 15. q-анализ (квантовые группы) и p-адический анализ

317

1. p-адический интеграл и q-интеграл

317

2.

Дифференциальные операторы

318

3.

Спектры q-деформированного осциллятора и p-адической модели

319

§ 16. Случайные процессы над полем p-адических чисел.

320

1.

Случайные отображения и марковские процессы

320

2.

Броуновское движение на p-адической прямой

325

3.

Обобщенные случайные процессы

327

4.

Квантовая теория поля

328

Библиографический обзор

330

Список литературы

338