Пример 7. Принятие законопроекта в парламенте.

Пусть три парламентские группы, обладающие приблизительно одинаковым числом голосов, обсуждают три законопроекта a, b, c с целью утверждения одного “наилучшего” варианта. Пусть системы предпочтений групп имеют соответственно вид:

1. R₁={(a, b),(b, c), (a, c)}.

2. R₂={(b, c),(c, a), (b, a)}.

3. R₃={(c, a),(a, b), (c, b)}.

Решено действовать по правилу большинства. В результате голосования получаем, что законопроект a предпочтительнее законопроекта b, т.к. пара (a, b) есть в R₁ и в R₃, а пара (b, a) только в R₂. Аналогично устанавливаем, что b предпочтительнее c и c предпочтительнее a. Получаем порочный круг: По результатам данного голосования нельзя выбрать наилучший законопроект.

Пример 8. Выборы президента (парадокс многоступенчатого голосования).

На выборах президента (компании или государства) борются две партии. Покажем на примере, что при умелом ведении дела меньшинство может навязать своё мнение большинству, хотя голосование всегда будет проводиться по правилу большинства. Пусть группа А владеет восемью выборщиками, а группа В девятнадцатью. При голосовании всех сразу побеждает группа В со счётом 19/8. Какую процедуру голосования выбрать, чтобы победила группа А? Для победы группы А нужно организовать следующую трехступенчатую процедуру голосования:

Рис. 2. Трехступенчатая процедура голосования.

Почему так получилось? Всё дело в организации многоуровневого голосования по правилу большинства и в умелом группировании сил. При этом, чем больше ступеней, тем ярче проявляется указанный эффект. С помощью современных технологий это можно реализовать, и это делается повсеместно с помощью целенаправленного вложения средств, группировке своих сторонников по избирательным округам и т.д.

Задача распределения ресурсов.

Пусть некоторый ресурс распределён между n членами некоторого сообщества. Состоянием сообщества будем называть вектор a=(a₁, a₂,…,a_n), где a_i—объём ресурса, которым владеет i-ый член сообщества. Общий объём ресурса постоянен и равен:

Рассмотрим другое состояние той же системы b=(b₁, b₂,…,b_n). Состояние b будет не хуже состояния a для i-го субъекта, если bi≥ai. Будем теперь производить перераспределение ресурсов на основе очень сильного большинства: переход системы из некоторого состояния a в состояние b разрешён, если новое состояние будет не хуже старого для всех членов общества, кроме может быть, одного (тотально-мажоритарное правило). Последовательность состояний a₁, a₂,…,a_m (здесь a_j=(a_j1, a_j2,…,a_jn)) будем называть тотально-мажоритарным путём из a₁ в a_m, если каждый промежуточный переход из a_i в a_i+1 был осуществлён на основе тотально-мажоритарного правила. Доказано достаточно неожиданное утверждение: тотально-мажоритарный путь может связывать любые два состояния системы!!! Таким образом, опираясь на мнение “всего общества” можно производить любые перераспределения ресурсов!

Пример 9. Захват ресурса.

Пусть n=4, ресурс объёма A=1 распределён поровну и производится перераспределение ресурса на основе очень сильного большинства по схеме, представленной на рис.3.

Рис. 3. “Захват ресурса.”

Здесь ресурс отбирается у субъекта с меньшим номером и делится между остальными субъектами, имеющими ресурс. В результате такого перераспределения ресурс сосредоточен в одних руках.

Проблема с голосованием по принципу большинства состоит в том, что проницательные индивиды могут манипулировать исходами голосования. Возникает вопрос, существуют ли механизмы принятия общественных решений, невосприимчивые к подобным манипуляциям?

Составим список некоторых требований, которым, по нашему мнению, должен был бы удовлетворять механизм принятия общественных решений:

1. При любом наборе совершенно упорядоченных, рефлексивных и транзитивных индивидуальных предпочтений механизм принятия общественных решений должен давать в результате общественные предпочтения, обладающие указанными свойствами.

2. Если каждый предпочитает альтернативу x альтернативе y, то общественные предпочтения должны приписывать альтернативе x более высокий ранг, чем альтернативе y.

3. Предпочтения в отношении x и y должны зависеть только от того, как люди ранжируют x и y, но не от того, как они ранжируют другие альтернативы.

Все эти требования выглядят вполне приемлемыми. Кеннет Эрроу (Нобелевская премия по экономике 1972 г., в частности, за работы в области принятия решений в условиях неопределённости) доказал удивительный результат.

Теорема невозможности Эрроу. Если механизм принятия общественных решений удовлетворяет свойствам 1, 2 и 3, то речь идёт о диктатуре: все общественные ранжирования альтернатив являются ранжированиями этих альтернатив одним индивидом.

Теорема показывает, что три совершенно приемлемые и желательные черты механизма принятия общественных решений несовместимы с демократией: не существует идеального способа агрегирования индивидуальных предпочтений в одно общественное предпочтение. Если мы хотим найти способ агрегирования индивидуальных предпочтений, формирующий общественное предпочтение, придётся отказаться от одного из трёх свойств.

Приложение.

1. Полная (совершенная) упорядоченность означает, что индивид может сравнить между собой любые две альтернативы.

2. Рефлексивность означает, что индивид полагает, что любая альтернатива не хуже себя самой.

3. Транзитивность означает, что если индивид считает, что альтернатива х по крайней мере не хуже альтернативы у, а альтернатива у по крайней мере не хуже альтернативы z, то, значит, он считает, что альтернатива х по крайней мере не хуже альтернативы z.