Физический смысл производной
Ключевые слова: физический смысл производной, среднее ускорение материальной точки, сила и импульс, количество заряда, напряженность и потенциал
Понятие производной широко используется в современной физике. Приведем несколько примеров.
Среднее ускорение материальной точки выражается формулой a= tv(t+ t)−v(t)
Мгновенное ускорение точки равно a=lim t 0 tv(t+ t)−v(t)=dtdv=v
Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением F=dtdp=p .
Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока: I=dtdq=q .
В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношениемE=−dxd =− .
Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t0– есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δt стремится к нулю.
Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .
Задачи.
Пусть точка движется по координатной прямой и закон ее движения (координата точки в момент времени t) задается функцией . В момент времени она находится в точке с координатой , а в момент времени – в точке с координатой . Тогда перемещение точки за промежуток времени равно .
Величина называется средней скоростью перемещения точки за промежуток времени :
.
Предел средней скорости при называется мгновенной скоростью точки в момент времени :
.
При прямолинейном движении, совершаемом по закону , мгновенная скорость точки в момент времени равна значению производной функции в точке :
.
Аналогично определяется мгновенная скорость изменения других физических величин. Так, например, мгновенное ускорение (скорость изменения скорости) точки в момент времени равно значению производной функции в точке :
или
Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найдите мгновенную скорость точки в момент времени .
Решение.
|
Ответ: 8 м/c |
Пример 2. Материальная точка массой кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию точки в момент времени и равнодействующую всех сил, действующих на точку в этот момент.
Решение. Кинетическая энергия вычисляется по формуле , а равнодействующая F всех сил, действующих на точку, по формуле . |
а) откуда и, следовательно, ; |
б) откуда и |
Ответ: 1 Дж; Н. |
Московский приборостроительный техникум
Государственного образовательного учреждения высокого профессионального образования
Российский государственный торгово-экономический университет.
Самостоятельная работа по математике
На тему: «Геометрический смысл производной»
Студент: Валиев М.А.
Группа: Эк-119
Специальность: Компьютерные сети (230111)
Преподаватель: Балюк А.П.