Задание

1. Придав описанной ситуации игровую схему, выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон.

2. Составить платежную матрицу, пояснив смысл элементов a_ij матрицы (почему они отрицательные?).

3. Выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных состояний оборудования равны соответственно q₁=0,15; q₂=0,55; q₃=0,3 (примените критерий Байеса); б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны (примените критерий Лапласа); в) о вероятности оборудования ничего определенного сказать нельзя (примените критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица). Значение параметра =0,8 в критерии Гурвица задано.

Решение

1) Описанная ситуация представляет собой статистическую игру.

В качестве статистика выступает руководство предприятия, которое может принять одно из следующих решений: отремонтировать оборудование своими силами (стратегия А₁), вызвать ремонтников (стратегия А₂); заменить оборудование новым (стратегия А₃).

Второй играющей стороной – природой будем считать совокупность факторов, влияющих на состояние оборудования: оборудование может использоваться после профилактического ремонта (состояние В₁); нужно заменить отдельные узлы и детали оборудования (состояние В₂): потребуется капитальный ремонт или замена оборудования (состояние В₃).

2. Составим платежную матрицу игры:

Элемент платежной матрицы а_ij показывает затраты руководства предприятия, если при выбранной стратегии А_i оборудование окажется в состоянии В_j. Элементы платежной матрицы отрицательны, так как при любой выбранной стратегии руководству предприятия придется нести расходы.

2. Выясним, какое решение целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях:

а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогично оборудования показывает, что вероятности состояний оборудования равны q₁=0,15; q₂=0,55; q₃=0,3.

Платежную матрицу представим в виде:

Стратегии статистика, Ai	Состояния природы Bj
	B1	B2	B3
A1	-6	-10	-15	-10,9
A2	-15	-9	-18	-12,6
A3	-13	-24	-12	-18,75
qj	0,15	0,55	0,3

где , (i=1,3)

По критерию Байеса за оптимальную принимается та чистая стратегия А_i, при которой максимизируется средний выигрыш статистика, т.е. обеспечивается =max .

Оптимальной стратегией по Байесу является стратегия А₁.

б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны, т.е. = 1/3.

Средние выигрыши равны:

= 1/3*(-6-10-15) = -31/3  -10,33;

= 1/3*(-15-9-18) = -42/3 = -14;

= 1/3*(-13-24-12) = -49/3  -16,33.

Оптимальной стратегией по Лапласу является стратегия А₁.

в) о вероятностях оборудования нельзя сказать ничего определенного.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

.

= max (-15, -18, -24) = -15.

Таким образом, оптимальной является стратегия А₁.

Построим матрицу рисков , где .

По критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия А₁, для которой в наихудших условиях величина r риска принимает наименьшее значение

= min(3, 9, 15) = 3.

По критерию Гурвица, за оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение .

По условию задачи  = 0,8.

max (0,8*(-15;-18;-24) + 0,2*(-6;-9;-12)) = max (-13,2; -16,2; -21,6) = -13,2.

Таким образом, оптимальной является стратегия А₁.

В результате решения статистической игры по различным критериям рекомендовалась стратегия А₁. Следовательно, руководство предприятия должно отремонтировать оборудование силами заводских специалистов.

4