1. Предмет исследования операций — подготовка инфор­мации для принятия целесообразных решений, а метод — по­строение и анализ математической модели операции.

2. Этап 1: содержательное описание операции (должен дать ответы на следующие вопросы: Какие неуправляемые параметры (воздействия внешней среды) существенно влияют на операцию, какие значения могут принимать эти параметры? Какая информация о состоянии внешней среды будет до­ступна в момент принятия решения? Какие выходные параметры описывают результат опера­ции? Как связаны между собой управляемые, неуправляемые и выходные параметры? Как оценить степени достижения целей операции при данных значениях неуправляемых и выходных параметров?)

Схема: управляемые параметры и внешние воздействия =>ОПЕРАЦИЯ=> способ оценки результата

Информация, собранная на этапе 1, позволяет сформировать правдоподобные предположения о существенных свойствах опе­рации и объекта в целом.

Этап 2: построение математической модели (Математическая модель формализует содержательное описа­ние операции, полученное на предшествующем этапе. Построение и анализ модели существенно упрощаются, если она относится к хорошо изученному типу. Необходимые условия применимости для многих типов моделей точно сформулированы. Проверка этих условий может потребо­вать возвращения к этапу 1. Управляемым параметрам ставятся в соответствие переменные, значения которых модель должна определить, внешним условиям и воздействиям — параметры модели, а выходным параметрам — результирующие показатели. Модель включает ограничения, которые описывают множества значений перемен­ных, параметров модели и результирующих показателей, а так­же соотношения между этими значениями: неравенства и урав­нения (алгебраические, дифференциальные и т.д.), обоснован­ные теоретически, или опирающиеся на гипотезы (сформулиро­ванные на этапе 1), или выведенные статистически. Способ оценки результата формализуется в виде целевой фун­кции (ЦФ), зависящей от выходных показателей и параметров модели. Параметры модели следует выбирать так, чтобы их значе­ния можно было определить (измерить, оценить) к моменту при­нятия решения. ЦФ может быть задана формулой, таблицей, алгоритмом вы­числения. Направление оптимизации (минимизация или мак­симизация) указывает, какие значения ЦФ предпочтительны, большие или малые.)

Этап 3: анализ модели ( )

Этап 4:проверка модели

Этап 5: разработка рекомендаций

3. Общая задача нелинейного программирования выглядит следующим образом:

/(х) ->max (2.1.1)

при

_gi(x) = bi, г £ {l,...,mi}; (2.1.2)

gi(x) <bi, i e {mi + l,...,m}, (2.1.3)

где x e R"; все bi — действительные числа; / и g_t— функции, принимающие значения из R.

Множество всех решений системы уравнений и неравенств (2.1.2) - (2.1.3) является множеством допустимых решений за­дачи.

Задача нелинейного программирования — частный случай за­дачи (1.3.1), специфика которого в том, что X является подмно­жеством R™ и описано системой ограничений: равенств (2.1.2) и неравенств (2.1.3). Ограничения вида g(x) >b сводятся к (2.1.3) умножением на (—1). Параметрами задачи нелинейного програм­мирования являются: число переменных, вид ЦФ (2.1.1), число, структура и правые части ограничений.

Пусть X — множество допустимых решений задачи (2.1.1) — (2.1.3). Все функции g_tдолжны быть определены на X, посколь­ку х е X означает, что все ограничения в точке х выполняются и, следовательно, левые части ограничений являются числами. Кроме того, если х — допустимое решение, то моделируемую опе­рацию можно осуществить при управлении х и получить какой- то результат, оценка которого, по предположению, равна /(х); следовательно, функция / тоже должна быть определена на X.

Определения. Функция F(x) на множестве MCR™ имеет ло­кальный максимум в х₀, если х₀ е М и существует такая окрест­ность О точки х₀, что -F(x₀) >F(x) для всех хе On М.

Аналогично определяется локальный минимум функции F(x) наМ.

Локальный экстремум — это локальный максимум или ло­кальный минимум.

Локальный экстремум называют безусловным, если MR", и условным — в противном случае.

Локальное решение задачи нелинейного программирования — это локальный максимум функции (2.1.1) на множестве X, определенном ограничениями (2.1.2), (2.1.3).

4. Определение. Классической задачей условной оптимизации называют задачу

/(х) —> max при дДх) = b_tдля i е {1,..., т} (2.3.1)

(задача нелинейного программирования (2.1.1) - (2.1.3), в кото­рой все ограничения являются равенствами, т\=т).

Замечание 4. Неравенство (2.1.3) эквивалентно уравнению #i(x) + s? = bi в следующем смысле: если х — решение неравен­ства, то bi — gi(x) > 0, значение Si = \fb~i — gi(x) определено и (х, Si) — решение уравнения; если же (х, s^ — решение уравне­ния, то bi — gi(x) = s? > 0 их — решение неравенства. В ана­логичном смысле неравенство g(x) >bi эквивалентно уравнению g(x)-s(i)в квадрате= bi. В частности, x(j)>либо= 0 эквивалентно x(j)=z(j)в квадрате.

Из замечания 4 следует, что всякую задачу нелинейного про­граммирования можно свести к классической задаче условной оптимизации (впрочем, такое сведение не всегда целесообразно). Предположим, что в (2.3.1) функции / и g_t (i е {1,..., m}) непре­рывно дифференцируемы на множестве допустимых решений. В этом случае большое теоретическое и прикладное значение име­ет метод множителей Лагранжа, который позволяет, используя необходимое условие локального экстремума, найти множество точек, "подозрительных на экстремум" в задаче (2.3.1). Вспом­ним определения и утверждения, необходимые для изложения этого метода. Рассмотрим функцию F, определенную и диффе­ренцируемую на множестве АСR^П.

Определения. Множество всех решений уравнения F(x) = с (с е R) называется поверхностью уровня (в двухмерном случае — линией уровня) с для функции F.

Поверхность уровня проходит через точку а (точка лежит на поверхности уровня), если а удовлетворяет соответствующему уравнению.

Вектор, составленный из частных производных функции F, вычисленных в точке х принадлежит А, называют градиентом этой функ­ции в точке х и обозначают VF(x) (первый символ читается "на-бла"), т. е. ……………………

Если VF(x) = 0, то х — стационарная точка функции F.