Достаточный признак Абеля равномерной сходимости.

Тождество Абеля. Пусть задана числовая последовательность a_k. Для фиксированного номера n и любых номеров введем обозначение . Тогда и выполняется тождество Абеля при m>n:

Лемма. Если имеют место отношения , то справедливо неравенство Абеля: .

Теорема. Пусть на множестве Х для последовательностей функций f_n(x), g_n(x) выполняются следующие условия:

- на множестве Х ряд равномерно сходится,

- при достаточно больших номерах , равномерно ограничена, тогда ряд сходится равномерно на множестве Х.

Доказательство. Пусть . Т.к. ряд сходится равномерно, то для него, согласно критерию Коши равномерной сходимости, справедливо утверждение, что . Согласно неравенству Абеля, справедлива оценка отрезка ряда . Согласно критерию Коши равномерной сходимости, ряд произведений сходится равномерно на множестве Х.

Следствие 3. Пусть на множестве Х для последовательностей функций и чисел выполняются следующие условия:

- на множестве Х ряд равномерно сходится

- при достаточно больших номера последовательность b_n ограниченная и монотонная

Тогда ряд сходится равномерно на множестве Х.

Следствие 4. Пусть на множестве Х для последовательностей чисел и функций a_n, g_n(x) выполняются следующие условия:

- ряд сходится

- при достаточно больших номерах равномерно ограничена,

Тогда ряд сходится равномерно на множестве Х.

Переход к приделу под знаком функционального ряда.

Пусть Х – область сходимости, точка а – предельная точка Х.

Определение. Точка а – предельная точка Х, если

Определение. Пусть существует конечные пределы , сходятся ряды . Если существует предел , то говорят, что возможен переход к пределу под знаком ряда.

Другими словами, попроще:

Теорема 1. Если существует конечные пределы и вблизи точки а функциональный ряд равномерно сходится, то числовой ряд сходится и предельный переход к пределу под знаком ряда возможен.

Теорема 1-1. Если функциональная последовательность {f_n(x)} сходится равномерно на множестве Х к предельной функции f(x) и если существуют пределы , то и предельная функция имеет в этой точка предел, причем

Непрерывность суммы ряда.

Теорема 2. Сумма равномерно сходящегося ряда (предел равномерно сходящийся последовательности) непрерывных функций является непрерывной функцией.

Доказательство. Проведем доказательство для ряда по теореме 1,

Почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда.

Пусть интегрируемые функции f_n(x) определены на отрезке [a,b] и функциональный ряд сходится.

Определение. Если для функции S(x) существует определенный интеграл , то говорят, что возможно интегрирование под знаком ряда.

Теорема 3. Если функциональный ряд непрерывных функций равномерно сходится, то его можно интегрировать под знаком ряда.

Доказательство. По теореме 2, функция S(x) непрерывна. Из непрерывности функций S(x), S_n(x) следует непрерывность остатка R_n(x)=S(x)-R_n(x), следовательно все эти функции интегрируемы.

Тогда .

Так как остаток ряда равномерно стремится к нулю, то справедливо утверждение:

Поскольку .

Последнее утверждение и показывает, что числовой ряд сходится к сумме .